Mostrando que un modelo de mercado tiene arbitraje y describiendo martingalas

Question

Este es un ejercicio con el que me encontré mientras estudiaba una introducción a las matemáticas financieras.

Ejercicio:

Considera el espacio muestral finito $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3\}$ y sea $\mathbb P$ una medida de probabilidad tal que $\mathbb P[\{\omega_1\}] > 0$ para todo $i=1,2,3$. Definimos un mercado financiero de un período que consta del espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P)$ con $\mathcal{F} := 2^\Omega$ y los títulos $\bar{S} = (S^0, S^1, S^2)$ que consisten en el título sin riesgo $S^0$ y dos títulos $S^1, S^2$ que tienen riesgo. Sus valores en el tiempo $t=0$ vienen dados por el vector $$\bar{S}_0 = \begin{pmatrix} 1\\2\\7 \end{pmatrix}$$ mientras que sus valores en el tiempo $t=1$, dependiendo de si ocurre el escenario $\omega_1, \omega_2$ o $\omega_3$, están dados por los vectores $$\bar{S}_1(\omega_1) = \begin{pmatrix} 1\\3\\9\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_2) = \begin{pmatrix} 1\\1\\5\end{pmatrix}, \quad \bar{S}_1(\omega_3) = \begin{pmatrix} 1\\5\\10 \end{pmatrix}$$ (a) Muestra que este mercado financiero tiene arbitraje.

(b) Sea $S_1^2(\omega_3) = 13$ mientras que los otros valores siguen siendo los mismos que antes. Muestra que este mercado financiero no tiene arbitraje y describe todas las medidas martingala equivalentes.

Intento:

(a) Tenemos que un proceso de valor se define como:

$$V_t = V_t^\bar{\xi} = \bar{\xi}\cdot \bar{S}_t = \sum_{i=0}^d \xi_t^i\cdot \bar{S}_t^i, \quad t \in \{0,1\}$$

donde $\xi = (\xi^0, \xi) \in \mathbb R^{d+1}$ es una estrategia de inversión donde el número $\xi^i$ es igual al número de piezas del título $S^i$ que están contenidas en la cartera en el período de tiempo $[0,1], i \in \{0,1,\dots,d\}$.

Ahora, también sé que para demostrar que un mercado tiene arbitraje, debo mostrar lo siguiente:

$$V_0 \leq 0, \quad \mathbb P(V1 \geq 0) = 1, \quad \mathbb P(V_1 > 0) > 0$$

Entiendo que los distintos vectores $S$ se utilizarán para calcular $V_t$ pero realmente no logro comprender $\xi$. ¿Cómo sería el vector $\xi$?

Cualquier ayuda para que entienda qué es realmente $\xi$ basándome en el problema y cómo completar mi intento será muy apreciada.

Para (b), mostrar que no tiene arbitraje es similar a (a) ya que solo debo demostrar que una de estas condiciones no se cumple. ¿Qué pasa con lo de las medidas martingala? Es un tema matemático en el que realmente no nos hemos adentrado, así que, si es posible, agradecería mucho una explicación detallada.

Answer 1

Correcto, $\xi$ es simplemente una cartera, por lo que alguna cantidad para cada uno de los valores. Si la cartera estuviera compuesta completamente por $S^0$, entonces se vería como (1,0,0). La pregunta es si podemos construir un conjunto de pesos que tenga un valor negativo o cero en t=0, pero ya sea cero o positivo en t=1 bajo todas las circunstancias (los omegas dados).

Consideremos, entonces, si nos lanzamos por completo a la seguridad 1 y la financiamos tomando prestada la seguridad 0 que está actuando como efectivo. Así que tenemos 1 unidad de S1, que tenía un valor de 2 en t=0, por lo que necesitamos -2 de S0 (perdón por ingresar latex en móviles me está volviendo un poco loco). Observa cada $\omega$. 1 y 3 tienen a S1 subiendo, genial, pero 2 lo tiene bajando en uno.

Podríamos hacer lo mismo con S3, pero el mismo problema, el escenario 2 baja. Sin embargo, hay que notar que las ratios cambian. En el escenario 2 la ratio aumenta a 5, mientras que en los otros la ratio baja de 3.5 a 3 o 2. Así que si abriéramos una posición corta en S2 también, reduciríamos nuestra pérdida en el escenario 2. En este, S2 cae 2 cuando S1 solo cae 1, por lo que si estamos expuestos a la mitad a S2, nos devolvería a la valoración cero. Así que modifiquemos nuestra cartera a -0.5 de S2, costando -3.5 en efectivo. Entonces ahora $\xi=(1.5,1,-0.5)$.

Valor cero inicialmente (combinando dos posiciones netas cero), en el escenario 1 ganamos 1 en S1, pero lo perdemos en S0 subiendo. En S2, lo mismo pero al revés, neto 0. En el escenario 3, aunque S1 sube 5/2 y S2 solo sube 10/7. Así que nuestra posición en S1 pasa de 1 a 2.5, y nuestra posición en S2 pasa de -3.5 a -5. Ganamos 2.5-1.5=1, con probabilidad distinta de cero.

He explicado esto detenidamente (mientras lo estoy pensando), pero dado que la cartera es un vector de peso, estás pidiendo una solución a una ecuación matriz-vector.

El valor inicial de la cartera es $\xi S_0$, y las valoraciones de los escenarios vienen dadas por $\xi S_1$, donde esta vez S_1 es una matriz compuesta por los $\omega$ como columnas.

Si reemplazamos esto con una versión normalizada $U_n=S_n/S_0$, entonces podemos ver los cambios como una matriz $V$ donde las columnas son $V_n=U_1(\omega_n)-U_0$. En esta matriz la línea superior son solo 0 (porque la seguridad en efectivo no cambia de valor).

V, entonces:

w1

w2

w3

0

0

0

1/2

-1/2

3/2

2/7

-2/7

3/7

Observa que las columnas w1 y w2 están a solo un factor de distancia entre sí. Si quisiéramos cambiar w3 para que coincida, lo cambiaríamos a ser 3*w1, haciendo que la entrada inferior derecha sea 6/7. Convirtiendo nuevamente de V a S obtendríamos (6/7+1)*7=13, y voilá la respuesta a la parte b.