Fórmula de fijación de precios de Bachelier para opciones binarias de tasa de interés

Question

De forma similar a la fórmula de Black y Scholes, estoy buscando replicar la fórmula de caplet de Bachelier con dos opciones digitales: (1) activo-o-nada (tasa forward en este caso) y (2) efectivo-o-nada. Para referencia, la fórmula de caplet de Bachelier es: $$c(t,T_{i-1},T_i) = \delta*P(t,T_i)*\Bigl((F(t,T_{i-1},T_i)-K)*\Phi(D)+\sigma*\sqrt{T_{i-1}-T_i}*\phi(D)\Bigr)$$ $$donde$$$\delta=$ factor de frecuencia, $P(t,T_i)$ es el factor de descuento, $D={F(t,T_{i-1},T_i)-K}/{\sigma*\sqrt{T_{i-1}-T_i}}$, $\Phi$ es la función de distribución acumulativa y $\phi$ es la función de densidad de probabilidad

Para referencia, en la fórmula de BS, la parte $$S*N(d_1)$$ es para el activo-o-nada y la parte $$K*e^{-rt}*N(d_2)$$ es para el efectivo-o-nada.

Mi interpretación es que, como $\Phi(D)$ representa la probabilidad de estar en el dinero, un caplet digital efectivo-o-nada tiene un valor de: $$D_{cash}(t,T_{i-1},T_i) = \delta*P(t,T_i)*K*\Phi(D)$$ y un caplet digital activo-o-nada tiene un valor de: $$D_{asset}(t,T_{i-1},T_i) = \delta*P(t,T_i)*\Bigl(F(t,T_{i-1},T_i)*\Phi(D)+\sigma*\sqrt{T_{i-1}-T_i}*\phi(D)\Bigr)$$

¡Muchas gracias!

Answer 1

La fórmula del caplet digital de Bachelier es simplemente $ \delta*P(t,T_i)*\Phi(D).$ Para una derivación, consulte esta respuesta donde $d_2$ ha sido reemplazado por tu $D$.

Answer 2

Suponga que está trabajando en una medida $\mathbb{Q}$ en la que su subyacente $S$ es una martingala (por ejemplo, $S$ es un precio forward/tasa LIBOR bajo la medida forward, numerario del cual es el factor de descuento a la fecha de pago de su derivado). Solo observe que

\begin{align} \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[\left(S_T - K\right)^+\right] & = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[\left(S_T - K\right) \mathbf{1}_{S_T > K}\right] \\ & = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left(S_T \mathbf{1}_{S_T > K}\right) - K \mathbb{Q} \left(\left\{S_T > K\right\}\right) \\ & = S_0 \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left(\frac{S_T}{S_0} \mathbf{1}_{S_T > K}\right) - K \mathbb{Q} \left(\left\{S_T > K\right\}\right) \end{align}

Porque $S$ es una martingala, $\frac{S_T}{S_0}$ es una variable aleatoria con valor esperado 1 (no necesariamente positivo para un subyacente Gaussiano... digamos que si $S_0$ y $K$ son positivos, la función indicadora te salva :) ), y define así un cambio de medida. Definimos $\mathbb{Q}^S$ por $\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}^S}{\mathrm{d}\mathbb{Q}} = \frac{S_T}{S_0}$. El numerario correspondiente es $S$. Entonces tenemos $$ \mathbb{E}^\mathbb{Q} \left[\left(S_T - K\right)^+\right] = S_0 \mathbb{Q}^S \left(\left\{S_T > K\right\}\right) - K \mathbb{Q} \left(\left\{S_T > K\right\}\right) $$

¡Esto te da exactamente tu descomposición en la opción de todo o nada y las opciones digitales de $K$!

Entonces en la fórmula de Bachelier (simplemente realiza la integración), el valor de la opción de todo o nada es $$ S_0 \Phi \left(D\right) + \sigma \sqrt{T} \phi \left(D\right) $$ y el término de la opción binaria es $$ K \Phi \left(D\right) $$