Prueba matemática de la fórmula de la relación de cobertura para futuros de bonos

Question

Sabemos que la proporción de cobertura _F que debemos utilizar para cubrir la duración a través de futuros de bonos es:

$$_F= -(DV01_B / DV01_{CTD} )\cdot CF_{CTD}$$

Donde $\textrm{DV01}_B$ es la duración en dólares del bono que quiero cubrir dividido por 10000, es decir, es igual a: $$(\textrm{duración modificada B} \cdot \textrm{valor teórico sucio B}) /10000$$

$\textrm{DV01}_{CTD}$ es la duración en dólares del bono CTD dividido por 10000, es decir, es igual a: $$(\textrm{duración modificada CTD} \cdot \textrm{valor teórico sucio CTD}) /10000$$

$\textrm{CF}_{CTD}$ es el factor de conversión del bono CTD

¿Cómo puedo demostrar esta fórmula?

La parte que no entiendo es por qué puedo escribir: $\textrm{DV01}_F = \textrm{DV01}_{CTD} / \textrm{CF}_{CTD}$,

Así, puedo demostrar que $_F= -\textrm{DV01}_B / \textrm{DV01}_F$

Lo que no puedo demostrar es que $$_F= -\textrm{DV01}_B / \textrm{DV01}_F = -(\textrm{DV01}_B / \textrm{DV01}_{CTD} )\cdot \textrm{CF}_{CTD}$$

Answer 1

Debe tener un poco de cuidado con respecto a lo que están midiendo tus sensibilidades (DV01s) aquí y con respecto a qué momento de liquidación.

Sea,

$$ DV01_B^t = \text{sensibilidad al riesgo del precio del bono, B, en relación con el rendimiento en liquidación, t} = \frac{\partial P^t_B}{\partial y^t_B} $$

Supongamos que un futuro tiene un bono CTD, por lo que no hay opciones, entonces el precio inmediato de los futuros, F, se determina a partir del precio del bono CTD en el momento de entrega, d, y el factor de conversión (y el precio de entrega es una función del precio al contado y la tasa repo hasta la entrega):

$$ F = \frac{1}{cf} P_{ctd}^{delivery} $$

Luego, la sensibilidad del precio del futuro al rendimiento en el CTD en la entrega es:

$$ \frac{\partial F}{\partial y_{ctd}^{delivery}} = \frac{1}{cf} DV01_{ctd}^{delivery} $$

Por lo tanto, si supones que tienes una posición en un bono, B, que no es el CTD, es posible que prefieras cubrir ese bono con el bono CTD, en cuyo caso buscarías igualar sus DV01s al contado, multiplicados por el monto nominal de negociación:

$$ N_B DV01_B^{spot} + N_{ctd} DV01_{ctd}^{spot} = 0 $$

En este caso, tu ratio de cobertura, $\phi = - \frac{DV01_{ctd}^{spot}}{DV01_B^{spot}}$

En este punto, debes pensar en cómo deseas incorporar la tasa repo o cómo deseas relacionar los rendimientos en la entrega con los rendimientos al contado. Si asumes que se puede obtener un ratio de cobertura adecuado mediante el uso de DV01s forward, puedes escribir:

$$ \phi = - \frac{DV01_{ctd}^{delivery}}{DV01_B^{delivery}} = - \frac{cf}{DV01_B^{delivery}} \frac{\partial F}{\partial y^{delivery}_{ctd}} $$

Este es básicamente la misma respuesta que anteriormente, etiquetada con liquidaciones.

Answer 2

Bueno, también necesitas tener en cuenta el carry, lo cual es fácil

Muy sencillo..

Precio futuro del bono ~ forward del bono ctd / cf

Este dv01 implícito del futuro del bono ~ dv01 del forward del bono ctd / cf

Obviamente estoy omitiendo el valor y el riesgo de la opcionalidad aquí.