Tengo una pregunta bastante simple pero al buscar respuestas en documentos de investigación no pude encontrar nada. La pregunta se puede resumir así: si esperas un impacto en un activo, ¿por qué no rebalanceas tu cartera de forma homogénea? ¿En qué base compras algunos activos y no compras otros? ¿Refleja esto la "sustituibilidad" de activos en carteras?
Imagina que tienes una cartera compuesta por 4 activos riesgosos $x_1, x_2, x_3$ y $x_4$ con pesos respectivos $w_i$.
Por lo tanto, los rendimientos de la cartera se dan por la combinación de los pesos de cada activo y sus rendimientos: $r_p = w_1 r_1 + w_2 r_2 + w_3 r_3 + w_4 r_3$
Demos algunos pesos aleatorios para que la suma de todos los pesos sea 1:
$r_p = 0.5 r_1 + 0.3 r_2 + 0.1 r_3 + 0.1 r_3$.
Si un inversor espera un impacto negativo en $r_1$, reducirá su exposición a $x_1$, digamos que $w_1$ disminuirá en un 50%. ¿Pero cuál será el impacto en $w_2$, $w_3$ y $w_4$? En otras palabras, estoy buscando los determinantes de $\frac{\Delta w_2}{\Delta w_1}$, la elasticidad de los pesos de $x_2$ tras un impacto en los pesos de $x_1$.
Mi intuición (que explico a continuación) es que los inversores atribuyen pesos basados en el rendimiento relativo (riesgo-rendimiento) de cada activo. Dos activos con pesos similares son más similares (en términos de riesgos y rendimientos) que dos activos con pesos diferentes. En el ejemplo, $x_3$ y $x_4$ son más similares porque sus pesos son similares (por lo que son más sustituibles). Tras un impacto en $x_1$, el activo más similar es $x_2$, por lo tanto mi intuición lleva al hecho de que $\frac{\Delta w_2}{\Delta w_1} > \frac{\Delta w_3}{\Delta w_1} = \frac{\Delta w_4}{\Delta w_5}$ bajo ciertas suposiciones (el impacto es puramente idiosincrático, las correlaciones son 0, la asignación de presupuesto es la misma, no hay venta en corto, aversión al riesgo constante...).
¿Alguien puede decirme si esto tiene sentido? ¿Existe un documento que hable explícitamente sobre las elasticidades de los pesos?
Aquí, explicaré de forma más formal mi "intuición", con tres activos para simplicidad.
$R_p = r_A w_A+r_Bw_B +r_Cw_C$ o, en variación: $\Delta R_p = \Delta r_A \Delta w_A+\Delta r_B\Delta w_B +\Delta r_C\Delta w_C$
Supongamos que un impacto negativo golpea los rendimientos del activo $A$. El inversor desea mantener los mismos rendimientos de la cartera, por lo tanto $\Delta R_p =0$, obtenemos:
$-\Delta r_A \Delta w_A = \Delta r_B \Delta w_B +\Delta r_C\Delta w_C$
$-\Delta r_A = \Delta r_B \frac{\Delta w_B}{\Delta w_A} +\Delta r_C\frac{\Delta w_C}{\Delta w_A}$
aislando $\frac{\Delta w_B}{\Delta w_A}$, obtenemos
$\frac{\Delta w_B}{\Delta w_A} = -\frac{\Delta r_A}{\Delta r_B} - \frac{\Delta r_C}{\Delta r_B}.\frac{\Delta w_C}{\Delta w_A}$
Aquí, la elasticidad del cambio en los pesos del activo $B$ tras un impacto en el activo $A$ disminuye con la "distancia" entre las características de $A$ y $B$ (en términos de rendimientos) (o sus rendimientos relativos), y con la "distancia" entre los rendimientos de $C$ y $B$, multiplicado por la elasticidad del cambio en los pesos del activo $C$ tras un impacto en $A$.
Para $n$ activos, tenemos:
$\frac{w_B}{w_A} = \frac{-\Delta r_A}{\Delta r_B} - \frac{1}{\Delta r_B \Delta w_A} \sum_{i=3}^{n}\Delta r_i \Delta w_i $
Sin embargo, los rendimientos no son las únicas características de los activos, y me gustaría encontrar algo similar con la varianza de la cartera dada por:
$Var(R_p) = \sigma^2_A w_A^2+ \sigma^2_B w_B^2 + \sigma^2 w_C^2 + \sigma_A\sigma_B w_A w_B \rho_{AB} + \sigma_A\sigma_C w_A w_C \rho_{AC} + \sigma_C\sigma_B w_C w_B \rho_{CB}$
Donde $ \sigma_i\sigma_j w_i w_j \rho_{ij}$ es la covarianza entre $i$ y $j$, $\rho_{ij}$ es la correlación entre $i$ y $j$. Sin embargo, encuentro algo mucho menos elegante (y mucho menos interpretable):
$\frac{w_B}{w_A}= \frac{\Delta w^2_A\Delta \sigma^2_A- \Delta \sigma_A \Delta \sigma_B \Delta w_B \Delta w_A \Delta \rho_{AB} - \Delta \sigma_A \Delta \sigma_C \Delta w_A \Delta w_C \Delta \rho_{AC} - \Delta \sigma^2_B w_B^2 - \sigma_C^2 w_C^2 }{\Delta \sigma_B \Delta \sigma_C \Delta w_C \Delta \rho_{BC}}$
¡Y aquí es donde me quedo atascado!
