¿Por qué la conversión muestra $\frac{\partial C}{\partial T} > 0$?

Question

Estoy leyendo "Pricing and Hedging with smiles" de Dupire (1993). Después de llegar a $$\frac12 b^2 \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}=\frac{\partial C}{\partial t} , $$

(nota: aquí $C$ es el valor de una opción de compra, $t$ se refiere a su vencimiento, mientras que $x$ se refiere a su precio de ejercicio)

dice

Ambas derivadas son positivas por arbitraje (mariposa por la convexidad y conversión por el vencimiento).

Seguro, el valor positivo de una opción mariposa significa $\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} > 0$, pero estoy un poco confundido aquí en la parte de la conversión.

Si no me equivoco, una conversión consiste en comprar la acción subyacente y compensarla con una posición sintética equivalente de corto en la acción (put largo + call corto).

¿Cómo se relaciona una conversión con $\frac{\partial C}{\partial t}>0$?

Answer 1

Estoy bastante seguro de que "por conversión" significa "por ejercicio", es decir, convirtiéndolo en stock. Solo las opciones americanas pueden ser ejercidas (convertidas) antes de su vencimiento y es bien sabido que una opción americana de vencimiento más largo no puede ser menos valiosa que una opción de vencimiento más corto porque siempre puedes convertir una opción americana de vencimiento más largo en una de vencimiento más corto desechándola en la fecha de vencimiento anterior.

Ahora, si no hay dividendos, las opciones de compra americanas y europeas valen lo mismo, por lo que las opciones de compra europeas de vencimiento más largo también valen más. Sin embargo, si hay dividendos, entonces las opciones de compra europeas de vencimiento más largo no necesariamente son más valiosas y esa derivada parcial no necesariamente es positiva para ellas.