Conjunto de Pareto con preferencias estrictamente convexas

Question

Supongamos que los agentes A y B tienen las siguientes funciones de utilidad $x_A y_A+12x_A+3y_A$ y $x_By_B +8x_B+9y_B$ respectivamente, con dotaciones (8,30) y (10,10).

La ecuación de la curva de contrato resulta ser $y_A=2x_A-6$ para asignaciones interiores de eficiencia de Pareto.

Mi pregunta es si alguna porción de los bordes y los orígenes también son eficientes en términos de Pareto, y si es así, ¿cómo llegamos a ellos sin graficar el cuadro? Una vez que dibujo el cuadro, me parece que estas porciones deberían incluirse.

Answer 1

Observa que las preferencias de $A$ y $B$ se pueden representar mediante las siguientes funciones de utilidad:

$u_A(x_A,y_A)=(x_A+3)(y_A+12)$

$u_B(x_B,y_B)=(x_B+9)(y_B+8)$

Para asignaciones eficientes interiores, se cumplen las siguientes condiciones:

• $\dfrac{y_A+12}{x_A+3}=\dfrac{y_B+8}{x_B+9}$
• $x_A+x_B=18$, $y_A+y_B=40$

Esto produce el siguiente conjunto de asignaciones eficientes interiores como las asignaciones factibles que cumplen

• $2x_A-y_A=6, 3< x_A < 18$

También existen asignaciones eficientes en los límites. Estas son asignaciones factibles que cumplen

• $y_A=0, 0\leq x_A\leq 3$ o
• $x_A=18, 30\leq y_A\leq 40$

Estas son las asignaciones en los límites mencionados y aquí se cumple la siguiente condición: $\text{MRS}_{X,Y}^A\geq \text{MRS}_{X,Y}^B$.