Prueba de que la debilidad de la Monotonicidad y la no saciedad local implican preferencia monótona

Question

La debilidad de la monotonicidad en mi caso se define de la siguiente manera: Si x es débilmente mayor que y, entonces x debe ser débilmente preferido sobre y. La monotonicidad se define de la siguiente manera: Si x es estrictamente mayor que y, entonces x debe ser estrictamente preferido sobre y.

Por lo tanto, mi proceso de pensamiento fue el siguiente (para demostrar que la debilidad de la monotonicidad + LNS (Satisfacción no local) implica monotonicidad):

LNS nos dice que debe existir un y que sea estrictamente preferido sobre x si este x está en la distancia euclidiana < a x. Sabemos que si al lado de x hay otro conjunto que es débilmente mayor que x. Debido a la debilidad de la monotonicidad este conjunto es débilmente preferido sobre x. Junto con LNS, la monotonicidad debería cumplirse, lo cual tiene sentido intuitivamente pero no tengo idea de cómo demostrarlo analíticamente.

¿Alguien puede ayudarme?

Gracias

Answer 1

Lo siguiente necesita algunos espacios para ser llenados:

Sea $x'$ estrictamente mayor que $x$. Debemos mostrar que $x'\succ x$. Sea $\epsilon>0$ lo suficientemente pequeño para que cada punto a una distancia menor que $\epsilon$ sea débilmente menor que $x'$. Sea $x''$ un conjunto que tiene una distancia menor que $\epsilon$ de $x$ pero que es estrictamente preferido a $x$. Tal conjunto existe gracias a la no saciedad local. Dado que $x'$ es débilmente mayor que $x''$, es débilmente preferido por la monotonicidad débil. Por transitividad, $x'\succ x$.