Precio de Vanna Volga de una Opción Put de barrera de entrada

Question

En el enfoque Vanna-Volga para fijar precios de exóticos de primera generación, como barreras simples, según entiendo el precio es el siguiente:

Sea $K,S_t < B$. Elegiré la VI ATM $I_{ATM}$ como la volatilidad de referencia para el precio VV. Entonces, $$ UIP(S_t,K,B) = UIP^{BS} (S_t,K,B, I_{ATM}) + p \times \text{Costo de cobertura} $$ donde $UIP^{BS} (S_t,K,B, I_{ATM})$ es el precio UIP en un mundo Black-Scholes con una volatilidad plana igual a $I_{ATM}$, y $p$ es la probabilidad de toque. Si estuviera considerando un Up and Out (UOP) entonces $p$ sería la probabilidad de no-toque, ¿verdad?

Entonces aquí está mi pregunta: el precio UIP en un mundo Black-Scholes con volatilidad plana $I_{ATM}$ es $$ UIP^{BS} (S_t,K,B, I_{ATM}) = \frac{K}{B} C^{BS}(S_t, B^2/K, I_{ATM}) $$

El costo de cobertura sería $$ \sum_{i=1}^3 x_i \left( C(S_t,K_i) - C^{BS}(S_t,K_i,I_{ATM}) \right) $$ donde los $C(S_t,K_i)$ son los precios de mercado de opciones (es decir, usando las VI reales de los strikes $K_i$), y $x_i$ se determinan de manera que \begin{align} \frac{\partial}{\partial\sigma} UIP^{BS} (S_t,K,B, I_{ATM}) &= \sum_{i=1}^3 x_i \frac{\partial}{\partial\sigma}C^{BS}(S_t,K_i,I_{ATM}) \\ \frac{\partial^2}{\partial\sigma\partial\sigma} UIP^{BS} (S_t,K,B, I_{ATM}) &= \sum_{i=1}^3 x_i \frac{\partial^2}{\partial\sigma\partial\sigma}C^{BS}(S_t,K_i,I_{ATM}) \\ \frac{\partial^2}{\partial S_t\partial\sigma} UIP^{BS} (S_t,K,B, I_{ATM}) &= \sum_{i=1}^3 x_i \frac{\partial^2}{\partial S_t\partial\sigma}C^{BS}(S_t,K_i,I_{ATM}) \end{align}

¿Es correcta mi comprensión, en particular en lo que respecta a la probabilidad de toque?

Answer 1

No creo que debas (puedas) usar la probabilidad opuesta (pasar de p touch a p no touch) porque existe una llamada paridad In-out: $$European \ vanilla\ option = European\ KI + European\ KO$$

La justificación es simple:

• asume que tienes tanto una opción KI como KO
• si la barrera no se toca, el KO paga un pago de vainilla al vencimiento
• si la barrera se toca, el KI paga un pago de vainilla al vencimiento
• dado que el pago es idéntico al de una opción de vainilla, su precio también debe ser igual debido a la ausencia de arbitraje

Esto es también lo que se menciona en el artículo de Bloomberg que está vinculado en la respuesta que enlace en el comentario. Solo cito la sección relevante abajo:

El ajuste comprometido descrito en la Ecuación 11 está justificado para una opción knock-out, con la parte vanna del ajuste forzada a cero en el límite de la opción que seguramente será knock-out. Para opciones knock-in, se podría utilizar una fórmula similar, reemplazando psym en la Ecuación 11 con 1 psym, que es la probabilidad de alcanzar la barrera. Desafortunadamente, esto no satisfará la condición de no arbitraje de que una opción knock-out más una opción knock-in sea igual a una opción de vainilla. Con esto en mente, en lugar de eso evaluaremos las opciones knock-in como la diferencia entre el precio de vanna-volga de una opción de vainilla y el precio de vannavolga de la opción de knock-out.

La Ecuación 11 evalúa un opción KO y se ve así:

y proporciona el ajuste necesario al precio de Black-Scholes. He replicado esto en código informático (más o menos ya que utilicé OVML de Bloomberg para hacer el trabajo pesado de obtener los diversos valores necesarios para calcular los valores de las opciones). Si es necesario, puedo encontrar eso sin duda en algún lugar o hacerlo de nuevo (no en un futuro cercano, me temo). Los pesos se eligen para que coincidan con los precios de mercado (en el momento en que se construyó este modelo) y son un compromiso entre puntos de vista opuestos donde vega y volga deberían ser ponderados o no ponderados por una función que se acerca a cero a medida que se acerca la barrera.

Ahora, lo que sugiere el artículo es descomponer una opción KI en: $$ KI\ option = BS\ - KO\ option$$

El artículo de Bloomberg menciona varios de estos ajustes y lo mismo se puede encontrar en Wystup: Vanna-volga pricing.

Para opciones con strike K, barrera B y tipo = 1 para una llamada y = 1 para una put, usamos las siguientes reglas de precios que se basan en condiciones de no arbitraje. KI se evalúa a través de KI = vainilla - KO.

Para resumir, creo que tienes razón y no deberías usar la probabilidad de toque. En su lugar, deberías descomponerlo y calcularlo a través de la lógica de la opción KO.