Actualmente estoy estudiando modelos económicos y tratando de calcular la FOC para diferentes tipos de modelos. Utilizo el libro de J.Gali "Monetary Policy, Inflation and the Business Cycle - An Introduction to the New Keynesian Framework".
En el segundo capítulo, en el modelo monetario clásico, los hogares tienen la siguiente función objetivo:
$ E_0\sum^\infty_{t=0} \beta^t U(C_t, N_t)$
bajo las restricciones presupuestarias
$P_t C_t + Q_t B_t \le B_{t-1}+W_tN_t-T_t$
Entiendo completamente cómo encontrar la FOC en este modelo.
Sin embargo, en el siguiente capítulo, los hogares tienen la misma función de utilidad $ E_0\sum^\infty_{t=0} \beta^t U(C_t, N_t)$. Sin embargo, aquí $ C_t \equiv(\int^1_0 C_t(i)^{1-\frac{1}{\varepsilon}}di)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}} $. Los hogares intentan maximizar su utilidad bajo $P_tC_t+Q_tB_t\le B_{t-1}+W_tN_t+T_t$
Donde $P_tC_t=\int^1_0P_t(i)C_t(i)di$
Si entiendo bien, en este tipo de modelo tenemos un continuo de bienes $i$ y los hogares enfrentan un problema de asignación óptima de gastos de consumo. Antes de maximizar su utilidad dependiendo tanto de $C_t$ como de $N_t$, tienen que maximizar $C_t$ para cualquier nivel de gasto dado ($\int^1_0P_t(i)C_t(i)\equiv Z_t$ donde $Z_t$ es el nivel de gasto), así que el problema de maximización es
L= [$ \int^1_0 C_t(i)^{1-\frac{1}{\varepsilon}}di]^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1}} - \lambda(\int^1_0P_t(i)C_t(i)di- Z_t) $
Intuitivamente, reemplazaría $\int^1_0 C_t(i)$ por $C_t$ y haría $\frac{dL}{dC_t}=0$ lo que me daría algo como $\lambda_tP_t = \frac{\varepsilon}{\varepsilon -1}C_t^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon -1}-1}$
Pero aquí ves que realmente no estoy teniendo en cuenta las integrales, y la respuesta dada en el libro es : $C_t(i)^{-{1/\varepsilon}} C_t^{1/\varepsilon}=\lambda_t P_t(i)$
No sé cómo encontrar esto y supongo que está relacionado con las derivaciones de las integrales. ¿Cuál es el proceso detrás de esto?
