Construir un bono cupón cero

Question

Supongamos que un bono a 10 años con un 3% está siendo negociado a 89 y un bono a 10 años con un 7% está siendo negociado a 97. Entonces (asumiendo que no hay arbitraje) el precio de un bono a 10 años de cupón cero sería:

La respuesta debería ser 83. ¿Cómo, utilizando únicamente flujos de efectivo (sin fórmulas de Excel), sería capaz de obtener 83?

Cuando multiplico el precio de el primer flujo de efectivo por los cupones semestrales de el segundo flujo y resto el precio de el segundo flujo multiplicado por los cupones semestrales de el primero: 3.5 * 89- 1.5 * 97= 166

¿Cómo obtener el 83 utilizando únicamente flujos de efectivo?

¡Gracias!

Answer 1

(Suponiendo que los dos bonos cupón tengan exactamente los mismos calendarios, y que estás liquidando cuando los devengados son 0.)

Considera una cartera compuesta por \$7 de bonos al 3% y \$3 de bonos al 7% en corto.

Esta cartera cuesta 7 * 89 - 3 * 97 = 332.

Cada vez que recibes un cupón de 7 * 3% de la posición del bono al 3%, pagas la misma cantidad de 3 * 7% por la posición del bono al 7%. Se compensan exactamente entre sí. La única vez que los flujos de efectivo netos son no nulos es al vencimiento, cuando recibes \$7 de principal, pagas \$3 de principal y te quedas con \$4 netos, la diferencia en tasas de cupón. Así que la cartera es equivalente a \$4 de bono cupón cero.

Por lo tanto, el precio justo de solo 1 bono cupón cero es de 332 / 4 = 83.

En general, si los cupones de los bonos son $a$ y $b$, $0, y si los precios sucios de los bonos son $p_a$ y $p_b$ respectivamente, entonces la cartera que consiste en largo $\\\$\frac{b}{b-a}$ del bono al $a\%$ y corto $\\\$\frac{a}{b-a}$ del bono al $b\%$ tiene flujos de efectivo de cupón $a\frac{b}{b-a}-b\frac{a}{b-a}=\frac{ab-ba}{b-a}=0$ y flujo de efectivo de principal final $\frac{b}{b-a}-\frac{a}{b-a}=\frac{b-a}{b-a}=1$ y es equivalente a \$1 de bono cupón cero. (En otras palabras, en el ejemplo numérico anterior, largo $\\\$b$ del bono al $a\%$ y corto $\\\$a$ del bono al $b\%$ es equivalente a $\\\$(b-a)$ de bono cupón cero.)

Esta cartera replicante cuesta $\frac{b}{b-a} p_a - \frac{a}{b-a} p_b=\frac{b \times p_a - a \times p_b}{b-a}$. Pero este es un tipo de fórmula que no debes memorizar, sino que debes poder deducir sobre la marcha en situaciones de la vida real.

Answer 2

Si compras un bono con cupón del 7% y vendes un bono con cupón del 3%, pagas $97-89=8$ dólares. El dinero que pagas te da a cambio una serie de ingresos de 4 dólares en los próximos 10 años.

Según el principio de no arbitraje, una serie de ingresos de 1 dólar en los próximos 10 años debería costar 2 dólares (un cuarto del flujo de efectivo anterior). Y una serie de ingresos de 3 dólares debería costar 6 dólares (3 cuartos del flujo de efectivo anterior).

Ahora descompone el flujo de efectivo del bono con cupón del 3%, podrás ver que es una serie de ingresos de 3 dólares (valor de 6 dólares) y un bono de cupón cero a 10 años. El valor total es de 89 dólares, así que el bono de cupón cero a 10 años debería costarte 83 dólares.

Answer 3

Su razonamiento es correcto: comenzando con su observación de que $3.5 × 89- 1.5 × 97= 166$, simplemente tiene que resolver $3.5x - 1.5 x = 166$, y obtendrá $x=83$.

Answer 4

Para determinar el precio de un bono cupón cero a 10 años utilizando solo flujos de efectivo y dados los precios de otros dos bonos, puedes establecer una ecuación basada en el valor presente de los flujos de efectivo.

Denotemos:

• ( $P_1$ ) como el precio del bono a 10 años al 3% (89),
• ( $P_2$ ) como el precio del bono a 10 años al 7% (97),
• ( $C_1$ ) como el pago de cupón semestral del bono al 3% (1.5% o 0.015),
• ( $C_2$ ) como el pago de cupón semestral del bono al 7% (3.5% o 0.035).

El valor presente de los flujos de efectivo para cada bono puede expresarse de la siguiente manera:

1. Para el bono al 3%: [ $PV_1 = \sum_{i=1}^{20} \frac{C_1}{2} \times (1 + r)^{-i} + \frac{1,000}{(1 + r)^{20}}$ ]

2. Para el bono al 7%: [ $PV_2 = \sum_{i=1}^{20} \frac{C_2}{2} \times (1 + r)^{-i} + \frac{1,000}{(1 + r)^{20}}$ ]

Conoces los precios ( $P_1$ ) y ( $P_2$ ) de estos bonos.

Ahora, para encontrar el precio ( $P_0$ ) de un bono cupón cero, se establece la ecuación: [ $P_1 - P_0 - (C_1/2) \times \sum_{i=1}^{20} (1 + r)^{-i} = P_2 - P_0 - (C_2/2) \times \sum_{i=1}^{20} (1 + r)^{-i}$ ]

Resolver esta ecuación te dará el precio ( $P_0$ ) del bono cupón cero a 10 años. Si realizas los cálculos, deberías encontrar que ( $P_0$ ) es de hecho 83, asumiendo que no hay arbitraje.