Dado la siguiente regresión: $ln(w_i)=\beta_1+\beta_2age+\beta_3age_i^2+\beta_4Y_i+\beta_5T_i+\beta_6Mar_i+\epsilon_i$ se me pide calcular la elasticidad de los salarios con respecto a la edad. ¿Es válido el siguiente intento?
$$\frac{\partial ln(w)}{{\frac{\partial age}{age}}}=\frac{\partial ln(w)}{\partial age}age=(\beta_2+2\beta_3age)(age)$$
¿Es esto consistente con la definición de una elasticidad como cambio porcentual sobre cambio porcentual? Gracias.
La fórmula del OP está perfectamente bien.
Tratando la derivada como una razón de diferenciales (viva Leibniz), con $x$ representando "edad", \begin{align} \frac{d \ln w}{dx} &= b_2 + 2b_3x \implies \frac 1 w \cdot \frac {d w}{dx} = b_2 + 2b_3x\\ \\ &\implies \frac x w \cdot \frac {d w}{dx} = \frac{dw/dx}{w/x} = (b_2 + 2b_3x)\cdot x, \end{align}
donde ahora el lado izquierdo es la definición de elasticidad puntual ("marginal sobre promedio").
El denominado confusamente "semi-elasticidad" (confusamente porque no es una elasticidad) proviene de escribir:
$$\frac{d \ln w}{dx} = b_2 + 2b_3x \implies \frac {d w / w}{dx} = b_2 + 2b_3x,$$
y considerando un cambio de una unidad en $x$, lo que significa que estableceremos $dx=1$ y obtendremos
$$\frac {d w }{w} \approx \frac {\Delta w}{w} = \% \Delta(w) \approx b_2 + 2b_3x.$$
Entonces $(b_2 + 2b_3x)\cdot x$ es la elasticidad adecuada, mientras que la "semi-elasticidad" $b_2 + 2b_3x$ en esencia es el cambio en porcentaje en el salario si la edad aumenta en un año (y dado que hemos incluido un término al cuadrado, este cambio porcentual depende también de la edad actual).
La definición de elasticidad no sería correcta. Matemáticamente, en una función multivariable la elasticidad se define de la siguiente manera:
$$ EL_x =\frac{ f_x '(x,y)}{f(x,y)}x$$ o en tu caso sería: $$ \frac{ \partial \ln [w(edad,Y,T,Mar)]}{\partial edad} \frac{edad}{\\ln [w(edad,Y,T,Mar)]}$$
Sin embargo, incluso si sustituyeras las expresiones en esta fórmula, obtendrías una elasticidad de un logaritmo del salario con respecto a la edad, no estoy seguro de si eso es lo que realmente deseas. Podrías exponenciar la función original pero sería un lío.
Una forma de estimar la elasticidad directamente desde la regresión sería utilizando la forma log-log para las variables de interés. En tu caso (asumiendo que no hay personas con 0 años en tu muestra):
$$ln(w_i)=\beta_1+\beta_2 \ln (edad) +\beta_4Y_i+\beta_5T_i+\beta_6Mar_i+\epsilon_i$$
En esta especificación, $\beta_2$ ya te dará una elasticidad. Esta especificación también controla un posible efecto no lineal de la edad, por lo que no es necesario un término cuadrático. Dicho esto, los logaritmos rara vez se usan para la edad, pero podrías estimar esta especificación como una verificación adicional de robustez y seguir manteniendo la especificación principal con el término cuadrático.
Alternativamente, en tu ecuación original que está en forma log-lineal:
$$ln(w_i)=\beta_1+\beta_2edad+\beta_3edad_i^2+\beta_4Y_i+\beta_5T_i+\beta_6Mar_i+\epsilon_i$$
Todos los coeficientes beta ya son semielasticidades (como también señaló @chan1142). Por lo tanto, si solo te interesan las semielasticidades, obtendrás tu resultado directamente de tu modelo original, ya que en tu caso la semielasticidad de los salarios con respecto a la edad es $\beta_2+2\beta_3edad_i$.
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