¿Qué significa "reemplazar todas las variables con los residuos después de la proyección en cualquier regresor exógeno adicional"?

Question

Estoy llevando a cabo una regresión IV y para asegurarme de que mi instrumento no es débil, quiero utilizar la prueba de robustez de Montiel Olea & Pflueger (2013) (ver: Artículo de Montiel Olea & Plueger (2013) ). Para hacerlo, necesitas su ado de stata "weakivtest", que es un comando post-regresión. Sin embargo, en su artículo especifican 4 pasos sobre cómo llevar a cabo esta prueba (sin el ado de stata). El primer paso dice lo siguiente: Si hay variables exógenas adicionales, sustituye todas las variables por sus residuos de proyección sobre esas variables exógenas. Normaliza los instrumentos para que sean ortogonales. (ver Montiel Olea & Pflueger, 2013: p.360).

¿Cómo hago eso? ¿Tengo que realizar una regresión y simplemente utilizar los residuos? ¿Qué regresión debo realizar: primera etapa o segunda etapa o...? ¿O no necesito hacer nada de esto porque el ado de stata se encarga de ello? (ten en cuenta que normalizar mi instrumento no es un problema).

¡Muchas gracias!

Answer 1

Sea $X_1$ la matriz $(n \times k_1)$ para las variables endógenas y $X_2$ la matriz exógena $(n \times k_2)$ para las variables exógenas adicionales.

Luego, los residuos de regresión de $X_1$ en $X_2$ están dados por: $$ M_{X_2} X_1, $$ donde $$ M_{X_2} = (I - X_2(X_2'X_2)^{-1}X_2')) $$ Donde $I$ es la matriz identidad.

Entonces reemplazas $X_1$ por $M_{X_2}X_1$ en la regresión.

Alternativamente, puedes realizar una regresión de cada variable en $X_1$ en todas las variables de $X_2$ (es decir, correr $k_1$ regresiones). Luego tomar los residuos de estas regresiones en la segunda etapa.