Calculando la pérdida de bienestar por el impuesto para un monopolista

Question

Un monopolista tiene una función de coste $c(y) = y$ de modo que su coste marginal es constante en 1 por unidad. Enfrenta la siguiente curva de demanda $D(p) = \begin{cases} \frac{100}{p}, &\text{si}&p 20 \\0,&\text{si} &p>20 \end{cases}$

Encuentre el nivel de producción que maximiza el beneficio si el gobierno impone un impuesto por unidad de Re. 1 por unidad, y también la pérdida de bienestar del impuesto.

$TR=100 \Rightarrow$ $MR=0$ mientras que $MC=1$ antes de que se imponga el impuesto y $2$ después de que se imponga. Entonces, ni siquiera entiendo cómo calcular la producción que maximiza el beneficio a partir de la condición usual de $MR=MC$.

Tal vez veo el problema de maximización del beneficio reducido a minimización del coste ya que el ingreso total es constante. En este caso, la empresa minimiza su coste mientras obtiene un beneficio positivo para $q=5$ para ambos casos de $MC.$

Pero, aún no entiendo cómo calcular la pérdida de bienestar. ¿Alguien podría guiarme con este problema?

Answer 1

Si el gobierno impone un impuesto de $1$ por unidad, entonces el nuevo costo marginal se convierte en $2$ por unidad.

Beneficio. Utilizando $p \leq 20 \iff \frac{100}{q} \leq 20 \iff q \geq 5$, tenemos que $\pi(q) = 100 - 2q$ cuando $q \geq 5$ $($o $p \leq 20)$ que se maximiza en $q^{*} = 5$.

Pérdida de bienestar. No hay pérdida de bienestar causada por el impuesto en este escenario. Como el impuesto no cambia el precio/cantidad óptimos, lo único que cambia es una parte del excedente del productor que va al gobierno como ingreso por impuestos.

Answer 2

El problema original de los monopolistas sin impuestos era: $$\begin{aligned} \max_{p,y} \quad & py(p)-c(y)\\ \textrm{s.t.} \quad & y(p)=\begin{cases} \frac{100}{p} & \text{si } p \leq 20\\ 0 & \text{si } p>20\end{cases} \\ & c(y)=y \end{aligned}$$

Al realizar la sustitución, el problema se convierte en: $$\begin{aligned} \max_{y\geq 5} \quad & 100-y\\ \end{aligned}$$

Claramente, el objetivo es disminuir la producción $y$, por lo que establecemos la producción en el valor más bajo posible, es decir, $y^*=5$

Ahora consideremos el caso con el impuesto. El impuesto impuesto es por unidad, por lo que su nueva función de costos es $c(y)=y+1\cdot y=2y$

El nuevo problema del monopolista es: $$\begin{aligned} \max_{p,y} \quad & py(p)-c(y)\\ \textrm{s.t.} \quad & y(p)=\begin{cases} \frac{100}{p} & \text{si } p \leq 20\\ 0 & \text{si } p>20\end{cases} \\ & c(y)=2y \end{aligned}$$

usando la sustitución como antes da: $$\begin{aligned} \max_{y\geq 5} \quad & 100-2y\\ \end{aligned}$$ Lo cual nuevamente da $y^*=5$

Dado que la cantidad de equilibrio y el precio permanecen sin cambios, debe ser que el excedente del consumidor siga siendo el mismo. Claramente, la ganancia del monopolista se ha reducido en comparación con antes debido al pago de impuestos, pero como Amit señaló en el comentario, los ingresos del gobierno aumentan por la diferencia en las ganancias antiguas y nuevas del monopolista. Por lo tanto, el excedente social agregado permanece igual, lo que no lleva a ninguna pérdida de bienestar social