Estrategia mixta de equilibrio de Nash, Contribuyendo a un bien público

Question

Soy un estudiante universitario de economía que actualmente está estudiando los conceptos básicos de la Teoría de Juegos. Estoy tratando de resolver el siguiente juego de estrategia mixta:

-Dos jugadores, Jugador 1 y Jugador 2

-Acciones disponibles: Cada jugador puede hacer una contribución de 0, 1, 2 (Los costos de cada contribución aumentan en la contribución, por lo tanto c2>c1>c0=0.

-Las preferencias: se representan mediante la función de pago (v-c), donde v es el valor que cada jugador asigna al bien público proporcionado, y c es el costo que cada jugador paga.

En resumen, la matriz de pago se ve así:

Veo que hay tres equilibrios de Nash de estrategia pura en este juego, (0,2), (1,1), (2,0). Pero tengo problemas para determinar los equilibrios de estrategia mixta... específicamente, me pregunto si puede haber un equilibrio de estrategia mixta en el que el jugador 1 mezcle entre {0,1} y el jugador 2 mezcle entre {1,2}, a pesar de que la matriz de pago es simétrica para los dos jugadores. ¿Me puedes ayudar aquí?

Answer 1

Si el jugador $1$ se mezcla entre $0$ y $1$, y juega $0$ y $1$ con probabilidad $p_0$ y $p_1=1-p_0$ respectivamente, entonces el pago esperado del jugador $2$ al jugar

• $0$ es $0$
• $1$ es $p_0(-c_1)+(1-p_0)(v-c_1)=(1-p_0)v-c_1$
• $2$ es $v-c_2$

Para asegurar que el jugador $2$ se mezcle entre $1$ y $2$, debe ser el caso que

• $(1-p_0)v-c_1=v-c_2\geq 0$ es decir $p_0=\dfrac{c_2-c_1}{v}$ y $v\geq c_2$.

Si el jugador $2$ se mezcla entre $1$ y $2$, y juega $1$ y $2$ con probabilidad $q_1$ y $q_2=1-q_1$ respectivamente, entonces el pago esperado del jugador $1$ al jugar

• $0$ es $vq_2=v(1-q_1)$
• $1$ es $v-c_1$
• $2$ es $v-c_2$

Para asegurar que el jugador $1$ se mezcle entre $0$ y $1$, debe ser el caso que

• $v(1-q_1)=v-c_1\geq v-c_2$ es decir $q_1=\dfrac{c_1}{v}$ y $v> c_1$.

Por lo tanto, tenemos el siguiente equilibrio de Nash de estrategias mixtas bajo la condición $v\geq c_2 > c_1 > 0$:

• $1$ juega la estrategia mixta $(p_0,p_1,p_2)=\left(\dfrac{c_2-c_1}{v}, \dfrac{v-(c_2-c_1)}{v}, 0\right)$, donde $p_i$ es la probabilidad de jugar la acción $i\in\{0,1,2\}$
• $2$ juega la estrategia mixta $(q_0,q_1,q_2)=\left(0, \dfrac{c_1}{v}, \dfrac{v-c_1}{v}\right) $, donde $q_i$ es la probabilidad de jugar la acción $i\in\{0,1,2\}$

Answer 2

Puedes intentar aleatorizar la fila. Es decir, deja que la probabilidad de que el jugador 1 elija 0, 1, 2 sea p1, p2 y (1-p1-p2), respectivamente. En el equilibrio, el jugador 2 debe ser indiferente a las elecciones 0, 1, 2 también, lo que significa que el retorno esperado debería ser exactamente el mismo para las tres opiniones. Al resolver las ecuaciones, deberías poder encontrar p1 y p2 en función de v, c1 y c2.

En mi opinión personal, no creo que exista un equilibrio donde el jugador 1 elija {0,1} y {1,2} porque, como mencionas, la matriz de pagos es simétrica.