La composición de la cartera de tangencia en el análisis estándar de media-varianza sí depende de la tasa libre de riesgo. El grado de esa dependencia depende de si mantenemos fijas las rentabilidades esperadas de los activos riesgosos mientras variamos la tasa libre de riesgo o si asumimos premios por riesgo fijos.
Vale la pena trabajar a través de los pasos que conducen a la cartera de tangencia para entender esta dependencia.
Considera una cartera de activos riesgosos donde $\mathbf{w}$ es el vector de pesos de la cartera, $\mathbf{r}$ es el vector de rentabilidades esperadas y $\mathbf{\Sigma}$ es la matriz de covarianza. Sea $w_0$ el peso del activo sin riesgo con tasa libre de riesgo $R$. Estableciendo un objetivo de rentabilidad en exceso de $\mu - R$, obtenemos la varianza mínima resolviendo el problema de minimización restringido: $$\text{min }\, \mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w}\\ \text{sujeto a }\, (\mathbf{r}-R\mathbf{1})'\mathbf{w} = \mu - R$$ Aquí $\mathbf{1}$ es un vector con todas sus componentes iguales a $1$ y el superíndice $'$ denota la transpuesta. Observa que no se impone ninguna restricción presupuestaria en los pesos de los activos riesgosos y el peso del activo sin riesgo satisfará $1-w_0= \mathbf{1}'\mathbf{w}$. Esto permite pedir prestado o prestar a la tasa libre de riesgo para apalancar o desapalancar la cartera de activos riesgosos.
Introduciendo un multiplicador de Lagrange $\lambda$, resolvemos el problema de minimización igualando el gradiente del lagrangiano a cero:
$$\tag{1}0=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}}= \frac{\partial}{\partial \mathbf{w}}\left[\frac{1}{2}\mathbf{w}'\mathbf{\Sigma}\mathbf{w} +\lambda(\mu -R- (\mathbf{r}-R\mathbf{1})'\mathbf{w} \right] = \mathbf{\Sigma}\mathbf{w}-\lambda (\mathbf{r}-R\mathbf{1})$$
El vector óptimo de pesos que resuelve (1) está dado por
$$\tag{2}\mathbf{w}^*= \lambda \mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{r}- R\mathbf{1})$$
Luego, la restricción de rentabilidad toma la forma $\lambda (\mathbf{r}-R\mathbf{1})'\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{r}- R\mathbf{1})= \mu -R$, permitiéndonos resolver para el multiplicador de Lagrange.
Prosiguiendo, descubriríamos que la desviación estándar de la rentabilidad $\sigma$ para la cartera óptima como función de la restricción de rentabilidad $\mu$ se encontrará en una recta en el plano $\sigma - \mu$. Además, el conjunto de carteras óptimas está compuesto por dos carteras de varianza mínima: el activo sin riesgo y la llamada cartera de tangencia que no contiene al activo sin riesgo. Para encontrar los pesos de la cartera de tangencia, tomamos $w_0 = 0$ lo que implica que $\mathbf{1}'\mathbf{w^*} = 1$. Aplicando esto a (2) obtenemos
$$\mathbf{1}'\mathbf{w}^* = \lambda(\mathbf{1}' \mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf {r}- R\mathbf{1}'\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf {1})= 1$$
Resolviendo para $\lambda$ y sustituyendo en (2) obtenemos los pesos de los activos riesgosos en la cartera de tangencia como
$$\mathbf{w}_t= \frac{\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{r}- R\mathbf{1})}{\mathbf{1}' \mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf {r}- R\mathbf{1}'\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf {1}},$$
mostrando la dependencia de la cartera de tangencia tanto de las rentabilidades esperadas como de la tasa libre de riesgo.
Para algunos resultados numéricos, considera una cartera que incluye los índices S&P 500 (SPX) y de bonos del Tesoro de EE.UU. a 10 años (UST). Durante el último siglo, las rentabilidades anuales fueron aproximadamente del 10% para SPX y del 5% para UST. Las volatilidades históricas fueron alrededor del 15% y 6% para SPX y UST, respectivamente, y la correlación de rentabilidades fue del 0.1. La tasa libre de riesgo promedio representada por las letras del Tesoro a 3 meses fue del 3%.
Con una tasa libre de riesgo del 3%, la cartera de tangencia tiene pesos del 37% para SPX y del 63% para UST. Si asumimos rentabilidades en exceso (prima de riesgo) fijas para acciones y bonos sobre efectivo, entonces esos pesos no cambiarán independientemente del nivel de la tasa libre de riesgo.
Por otro lado, si mantenemos fijas las rentabilidades esperadas para acciones y bonos en promedio histórico, los pesos de la cartera de tangencia variarán. Suponiendo una tasa libre de riesgo del 1%, obtenemos una menor asignación del 26% a acciones y 74% a bonos. La asignación a acciones aumenta junto con la tasa libre de riesgo asumida, alcanzando la división 70/30 cuando $R \approx $ 4.5%.
Con un aumento adicional en la tasa libre de riesgo, la cartera de tangencia finalmente alcanza el 100% de acciones. Se puede demostrar que la cartera de tangencia se encuentra en la frontera eficiente de media-varianza para carteras compuestas únicamente por los activos riesgosos. A medida que $R$ se incrementa más allá de la rentabilidad esperada de la cartera global de mínima varianza, el punto de tangencia se desplaza hacia el rango inferior del set de mínima varianza para los activos riesgosos. Esto puede llevar a resultados sorprendentes.
Dado que esta respuesta ya es bastante extensa, tales fenómenos deberían ser explorados con otra pregunta.
Finalmente, se debe enfatizar que adherirse estrictamente a la interpretación literal de la teoría moderna de carteras para decisiones de asignación entre unas pocas clases de activos es peligroso. La sensibilidad a las suposiciones de parámetros es particularmente pronunciada en este ejemplo. Cómo se deben ajustar las expectativas de rentabilidad para acciones y bonos basadas en métricas de valoración actuales y en diferentes entornos como una curva de rendimiento invertida (donde el costo de financiamiento supera el rendimiento de los bonos de mayor duración) es una pregunta abierta.
