Equilibrio de Nash bayesiano del juego de Cournot

Question

Considera el juego de Cournot con dos empresas, cuya función (Q) P está en la forma de una relación:

P (Q) = 60 Q si Q ≤ 60 0 si Q > 60

donde q2 + q1 = Q es la suma de las producciones en el mercado. El costo de la empresa 2 es 12q2 = c2(q2) con probabilidad 1/4 y 24q2 = c2(q2) con probabilidad 3/4, y el costo de la empresa 1 es 18q1 = c1(q1) con probabilidad 1/3 y 24q1 = c1(q1) con probabilidad 2/3. Las empresas son diferentes de la situación: Saben en qué estado se encuentran, pero la empresa opuesta solo conoce los tipos y sus probabilidades. A) Muestra la información dada en forma de un juego bayesiano, y para esto, el conjunto de jugadores, el conjunto de cada tipo, el conjunto de estrategias y identifica la función de beneficios. B) Encuentra el equilibrio de Nash bayesiano y las ganancias esperadas

Answer 1

Dada la función de demanda: \begin{eqnarray*}P(Q) = \max(60-Q,0) \end{eqnarray*} donde $Q=q_1+q_2$.

La función de costo de la compañía 1 es \begin{eqnarray*}c_1(q_1)= \begin{cases} 18q_1 & \text{con prob. } \frac{1}{3} \\ 24q_1 & \text{con prob. } \frac{2}{3} \end{cases} \end{eqnarray*} La función de costo de la compañía 2 es \begin{eqnarray*}c_2(q_2)= \begin{cases} 12q_2 & \text{con prob. } \frac{1}{4} \\ 24q_2 & \text{con prob. } \frac{3}{4} \end{cases} \end{eqnarray*} Sea $(q_1^L, q_1^H)$ denota la estrategia de la compañía 1, donde $q_1^L$ es la cantidad que produce cuando enfrenta costos bajos es decir $18q_1$ (Tipo L) y $q_1^H$ es la cantidad que produce cuando enfrenta costos altos es decir $24q_1$ (Tipo H). De la misma forma, sea $(q_2^L, q_2^H)$ denota la estrategia de la compañía 2, donde $q_2^L, q_2^H$ son las cantidades elegidas por la compañía 2 cuando enfrenta costos de $12q_2$ (Tipo L) y $24q_2$ (Tipo H) respectivamente.

Para determinar el equilibrio de Nash bayesiano, primero encontraremos las funciones de mejor respuesta de ambos tipos de las dos compañías:

Tipo L del problema de maximización de la compañía 1: \begin{eqnarray*} \max_{q^L_1\geq 0}\frac{1}{4}(60-q_2^L-q_1^L)q^L_1+ \frac{3}{4}(60-q_2^H-q_1^L)q^L_1-18q^L_1 \end{eqnarray*} y obtenemos la función de mejor respuesta como: \begin{eqnarray*} q_1^L=\frac{42 -\left(\frac{1}{4}q_2^L+\frac{3}{4}q_2^H\right)}{2} \end{eqnarray*} De la misma forma, Tipo H del problema de maximización de la compañía 1: \begin{eqnarray*} \max_{q^H_1\geq 0}\frac{1}{4}(60-q_2^L-q_1^H)q^H_1+ \frac{3}{4}(60-q_2^H-q_1^H)q^H_1-24q^H_1 \end{eqnarray*} y obtenemos la función de mejor respuesta como: \begin{eqnarray*} q_1^H=\frac{36 -\left(\frac{1}{4}q_2^L+\frac{3}{4}q_2^H\right)}{2} \end{eqnarray*}

De manera similar, podemos derivar la mejor respuesta de dos tipos de compañía 2 y obtener \begin{eqnarray*} q_2^L=\frac{48 -\left(\frac{1}{3}q_1^L+\frac{2}{3}q_1^H\right)}{2} \\ q_2^H=\frac{36 -\left(\frac{1}{3}q_1^L+\frac{2}{3}q_1^H\right)}{2} \end{eqnarray*}

Al resolver el sistema de las cuatro funciones de mejor respuesta obtenemos lo siguiente como estrategias de la compañía 1 y 2 en el equilibrio de Nash bayesiano.

• Estrategia de la empresa 1: $q_1^L = \frac{43}{3}$, $q_1^H=\frac{34}{3}$
• Estrategia de la empresa 2: $q_2^L = \frac{107}{6}$, $q_2^H=\frac{71}{6}$