¿Cómo es que un consumidor representativo con utilidad cuasilineal no necesita economizar?

Question

Supongamos que un consumidor representativo tiene la siguiente función de utilidad cuasilineal: U_i(x_1,x_2)=ax_1+ax_2-(1/2)*[(x_1)^2+(x_2)^2] + k

donde a>0 es un parámetro de utilidad, x_1 y x_2 son los bienes, y k es "todos los demás bienes".

Maximizar U_i sujeto a I=p_1_x_1+p_2_x_2+k produce las funciones de demanda inversa p_1=a-x_1, p_2=a-x_2.

Mi pregunta es, ¿cómo es posible que un consumidor representativo tenga un presupuesto, y aún así no necesite renunciar a uno de los bienes cuando compra más del otro? Es decir, de acuerdo con las funciones de demanda, x_1 y x_2 son independientes. Pero, ¿cómo es posible cuando el consumidor gasta todo su presupuesto? Uno pensaría que comprar más de un bien implicaría renunciar al otro.

Ahora, entiendo que esto tiene algo que ver con la cuasilinearidad de la función de utilidad, pero no me queda claro exactamente qué. Agradecería cualquier comentario útil.

Answer 1

Hay 3 bienes. Si ella compra más de $x_1$, comprará menos del bien compuesto $k$.

Observe que como $x_1 = a-p_1$ y $x_2 = a - p_2$, se tiene que: $$ \begin{align*} k &= I - p_1 x_1 - p_2 x_2,\\ &= I - p_1 a + (p_1)^2 - p_2 a + (p_2)^2, \end{align*} $$ Por lo tanto, por ejemplo, un aumento en $x_1$ debido a una disminución en el precio de $p_1$ causará una disminución en la cantidad de $k$.