Estoy estudiando teoría de juegos por mi cuenta utilizando Game Theory: Analysis of Conflict por Roger Myerson. Aquí hay un ejercicio del libro de texto. Lo intenté por mi cuenta, pero no estoy seguro si es correcto. ¡Realmente apreciaría si alguien pudiera ayudarme a verificar!
Pregunta
Supongamos que el conjunto de premios $X$ es un subconjunto finito de $\mathbb{R}$, el conjunto de números reales, y un premio $x$ denota una recompensa de $x$ dólares. Un tomador de decisiones dice que, si supiera que el verdadero estado del mundo estaba en algún conjunto $T$, entonces preferiría débilmente una lotería $f$ sobre otra lotería $g$ (es decir, $f \succsim_T g$) si y solo si \begin{align*} \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xf(x|s) \geq \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s). \end{align*} (Es decir, prefiere la lotería que da la mayor ganancia esperada en el peor estado posible). ¿Esta relación de preferencia cumple con el axioma de continuidad?
Axioma
Axioma de Continuidad$\quad$ Si $f \succsim_S g$ y $g \succsim_S h$, entonces existe algún número $\gamma$ tal que $0 \leq \gamma \leq 1$ y $g \sim_S \gamma f + (1 - \gamma)h$.
Mi Intento
No estoy completamente seguro de si este axioma es satisfecho por la relación de preferencia o no. Intenté un par de ejemplos, pero no pude mostrar ninguna violación. Así que intenté probar que esta relación de preferencia sí cumple con el axioma de continuidad, y aquí está mi intento:
Prueba$\quad$ Supongamos que $f \succsim_T g$ y $g \succsim_T h$. Entonces, \begin{align*} \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xf(x|s) \geq \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s) \geq \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xh(x|s).\tag1 \end{align*} Sea $s_1$ cualquier estado del mundo tal que \begin{align*} \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s) \geq \sum_{x \in X} xh(x|s_1).\tag2 Sea $\gamma \in [0,1]$. Por definición, tenemos \begin{align*} \sum_{x \in X}x(\gamma f + (1 - \gamma)h)(x|s) = \gamma \sum_{x \in X} xf(x|s) + (1 - \gamma) \sum_{x \in X} xh(x|s). \end{align*} Definimos un procedimiento para encontrar un $\gamma \in [0,1]$ tal que $g \sim_T \gamma f + (1 - \gamma)h$, es decir, \begin{align*} \min_{s \in T} \sum_{x\ in X} x g(x|s) = \min_{s \in T} \left\{\gamma\sum_{x \in X}xf(x|s) + (1 - \gamma)\sum_{x \in X}xh(x|s)\right\}. \end{align*} Sea $s_1$ el verdadero estado del mundo. Por (1) y (2), tenemos \begin{align*} \sum_{x \in X} xf(x|s_1) \geq \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s) \geq \sum_{x \in X} xh(x|s_1). \end{align*} Por lo tanto, existe un $\gamma_1 \in [0,1]$ tal que \begin{align*} \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s) = \gamma_1 \sum_{x \in X} xf(x|s_1) + (1 - \gamma_1)\sum_{x \in X}xh(x|s_1).\tag3 \end{align*} Si \begin{align*} \gamma_1 \sum_{x \in X} xf(x|s_1) + (1 - \gamma_1) \sum_{x \in X} xh(x|s_1) = \min_{s \in T} \sum_{x \in X} x(\gamma_1 f + (1 - \gamma_1)h)(x|s), \end{align*} entonces hemos terminado. Si no, sea $s_2$ el estado del mundo tal que \begin{align*} \gamma_1 \sum_{x \in X} xf(x|s_2) + (1 - \gamma_1) \sum_{x \in X} xh(x|s_2) = \min_{s \in T} \sum_{x \in X} x(\gamma f + (1 - \gamma)h)(x|s). \end{align*} Ya que, por (3), \begin{align*} \gamma_1 \sum_{x \in X} xf(x|s_2) + (1 - \gamma_1) \sum_{x \in X} xh(x|s_2) < \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s),\tag4 \end{align*} y ya que, por (1), \begin{align*} \sum_{x \in X} xf(x|s_2) \geq \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s), \end{align*} debemos tener \begin{align*} \sum_{x \in X} xh(x|s_2) < \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s). \end{align*} Entonces, debe existir un $\gamma_2 \in [0,1]$ tal que \begin{align*} \gamma_2 \sum_{x \in X} xf(x|s_2) + (1 - \gamma_2) \sum_{x \in X} xh(x|s_2) = \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s).\tag5 \end{align*} A continuación, pruebo que \begin{align*} \gamma_2 \sum_{x \in X} xf(x|s_1) + (1 - \gamma_2) \sum_{x \in X} xh(x|s_1) \geq \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s).\tag6 \end{align*} Supongamos, contrario a lo que se afirma, que \begin{align*} \gamma_2 \sum_{x \in X} xf(x|s_1) + (1 - \gamma_2) \sum_{x \in X} xh(x|s_1) < \min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s). \end{align*} Entonces \begin{align*} \gamma_2 < \frac{\min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s) - \sum_{x \in X}xh(x|s_1)}{\sum_{x \in X} xf(x|s_1) - \sum_{x \in X}xh(x|s_1)} = \gamma_1, \end{align*} donde la igualdad viene de la ecuación (3). Pero, por (4), tenemos \begin{align*} \gamma_1 < \frac{\min_{s \in T} \sum_{x \in X} xg(x|s) - \sum_{x \in X}xh(x|s_2)}{\sum_{x \in X}xf(x|s_2) - \sum_{x \in X}xh(x|s_2)} = \gamma_2, \end{align*} donde la igualdad viene de la ecuación (5). Por lo tanto, obtenemos una contradicción. Así que, la desigualdad (6) se mantiene. Además, (6) implica que $\gamma_2 \geq \gamma_1$. Nuevamente, si \begin{align*} \gamma_2 \sum_{x \in X} xf(x|s) + (1 - \gamma_2) \sum_{x \in X} xh(x|s) = \min_{s \in T} \sum_{x \in X} x(\gamma_2 f + (1 - \gamma_2)h)(x|s), \end{align*} entonces hemos terminado. Si no, repetimos el proceso anterior. Con este procedimiento, siempre somos capaces de encontrar un $\gamma \in [0,1]$ tal que $g \sim_T \gamma f + (1 - \gamma)h$. Por lo tanto, esta relación de preferencia cumple con el axioma de continuidad.
Mi Pregunta
¿Alguien podría por favor ayudarme a verificar si mi respuesta es correcta? ¡Realmente lo aprecio!
Si el axioma de continuidad, de hecho, se viola, por favor comparta un contraejemplo. Si el axioma de continuidad se cumple de hecho, pero mi prueba tiene algunos fallos o hay una mejor manera de probarlo, considere también compartirlo como una respuesta. ¡Muchas gracias de antemano!
Información de Antecedentes
Para obtener más información de fondo sobre notaciones, axiomas, y demás, por favor consulte esta publicación.
