Si una función de producción es homotética, el MRTS es la razón de los insumos utilizados. Pero, ¿es también cierto lo contrario?

Question

Sabemos que cuando una función de producción es homotética, la MRTS es constante a lo largo del rayo que pasa por el origen (es una proporción de los insumos utilizados). Pero, ¿es cierto que si la MRTS es una proporción de los insumos utilizados, entonces la función de producción es homotética? ¿Alguien puede demostrarlo?

Answer 1

Permítame centrarme en un escenario de consumo de 2 bienes (análogo al escenario de producción) y asumir que las curvas de indiferencia son convexas y diferenciables, por lo que cada punto tiene una MRS única.

Asumamos que podemos escribir el $MRS$ como una función de la razón de los dos bienes. En otras palabras, en el punto $(x,y)$ (con $x, y > 0$) podemos escribir $MRS_{(x,y)} = M(x/y)$, donde $M$ es alguna función $M$ de $\mathbb{R}_{++}$ a $\mathbb{R}_{++}$.

Para simplificar, normalicemos los precios $(p_x, p_y)$ de manera que el precio de $y$ sea la unidad. Entonces las funciones de demanda son una función de la razón de precios relativa $p_x/p_y = \omega$ y del ingreso normalizado $z = m/p_y$. Denotemos por $D_x(\omega, z)$ y $D_y(\omega, z)$ las funciones de demanda para el bien $x$ y para el bien $y$ respectivamente.

Se observa que si fijamos la razón de precios relativa $\omega = MRS_{(x,y)}$ y definimos el gasto $z = \omega x + y$, entonces $x = D_x(\omega, z)$ y $y = D_y(\omega, z)$.

Primero demostraremos que existe una función $M$ tal que $MRS_{(x,y)} = M(x/y)$ si y solo si las funciones de demanda $D_x$ y $D_y$ son homogéneas de grado 1 (es decir, lineales) en $z$.

• ($\to$) Consideremos $t > 0$, sea $x = D_x(\omega, z)$ y $y = D_y(\omega,z)$ (es decir, $\omega = MRS_{(x,y)}$ y $\omega x + y = z$).

  Necesitamos demostrar que $t x = D_x(\omega, tz)$ y $ty = D_y(\omega, tz)$. Esto, sin embargo, se sigue inmediatamente del hecho de que: $$ MRS_{(tx, ty)} = M(tx/ty) = M(x/y) = MRS_{(x,y)} = \omega, $$ y $$ \omega (t x) + (t y) = t(\omega x + y) = t z. $$

• ($\leftarrow$) Supongamos que $D_x(\omega, z)$ y $D_y(\omega, z)$ son homogéneas de grado 1 en $z$. Fijemos $(x,y)$. Sabemos que $x \in D_x(\omega, z)$ y $y \in D_y(\omega, z)$ cuando tomamos $\omega = MRS_{(x,y)}$ y $z = \omega x + y$.

  Consideremos cualquier $(x^\ast, y^\ast)$ tal que $x/y = x^\ast/y^\ast$. Sea $t = y^\ast/y$. Observamos que $x^\ast = t x$ y $y^\ast = t y$.

  Por la homogeneidad de las funciones de demanda en $z$, obtenemos $tx = x^\ast = D_x(\omega, tz)$ y $ty = y^\ast = D_y(\omega, tz)$.

  Esto implica que, por definición, $MRS_{(x^\ast, y^\ast)} = \omega = MRS_{(x,y)}$. Concluimos que $MRS_{(x,y)}$ es una función de $x/y$.

Dado esto, la pregunta se puede reformular de la siguiente manera. ¿Las funciones de demanda lineales (en ingreso) conducen a funciones de utilidad homotéticas?

La respuesta es no. Pero la respuesta es algo sutil.

Se sabe que las funciones de utilidad que conducen a funciones de demanda lineales (es decir, curvas Engel lineales) deben tener la forma polar de Gorman. Esto significa que las funciones de utilidad indirectas son lineales en ingreso: $$ v(p_x, p_y, m) = a(p_x, p_y) + b(p_x, p_y) m. $$ para algunas funciones $a$ y $b$ de $p_x$ y $p_y$. Utilizando la identidad de Roy, las funciones de demanda son de la forma, $$ \begin{align*} &D_x(p_x, p_y, m) = \frac{a_x + b_x m }{b},\\ &D_y(p_x, p_y, m) = \frac{a_y + b_y m}{b}. \end{align*} $$ donde $a_x, b_x$ y $a_y, b_y$ son las derivadas parciales de $a$ y $b$ con respecto a $p_x$ y $p_y$ respectivamente.

Por otro lado, las utilidades homotéticas tienen funciones de utilidad indirectas de la forma: $$ v(p_x, p_y, m) = b(p_x, p_y) m. $$ Esto da lugar a funciones de demanda lineales: $$ \begin{align*} &D_x(p_x, p_y, m) = \frac{b_x}{b} m,\\ &D_y(p_x, p_y, m) = \frac{b_x}{b} m. \end{align*} $$ Entonces las funciones de utilidad de la forma polar de Gorman son más generales en el sentido de que permiten que las curvas Engel tengan un posible intercepto distinto de cero $a_x/b$ y $a_y/b$. Esto significa que hay funciones de utilidad no homotéticas que tienen curvas Engel lineales.

Por otro lado, el hecho de que estas curvas Engel no pasen por el origen significa que la demanda con ingresos iguales a cero no es realmente igual a cero (y el consumo de algunos bienes a ese nivel se vuelve negativo). En otras palabras, las funciones de demanda consistentes con la forma polar de Gorman no están "bien definidas" para ingresos cercanos a cero. Los economistas (mejores que yo) argumentan entonces que solo deberíamos mirar regiones en el espacio lo suficientemente lejos del origen, lo que básicamente significa permitir que las curvas Engel se vuelvan no lineales cerca del origen, pero son lineales cuando el ingreso es suficientemente grande.

tldr: Si te restringes a regiones lo suficientemente lejos del origen, entonces hay funciones de utilidad no homotéticas que conducen a $MRS$ que dependen solo de la razón de las cantidades. Estas son de la forma polar de Gorman. Si impones la condición de que globalmente "MRS es una función de la razón de las cantidades", entonces probablemente esto sí conducirá a funciones de utilidad homotéticas.

Answer 2

No, la primera afirmación, que el MRTS es la razón de los insumos utilizados ya es falsa. Un contraejemplo: la función de producción $$ F(K,L) = K + L $$ es homotética, el valor absoluto del MRTS es 1, y sin embargo esto no nos dice nada sobre la proporción de insumos utilizados, no tiene que ser 1:1.

La función anterior es algo así como un caso límite, pero la afirmación simplemente no es cierta para el Cobb-Douglas asimétrico y la mayoría de otros tipos de funciones tampoco.