¿Es la deuda eventualmente negativa para $y_t$ no negativo $\to 0, c_t \neq 0$?

Question

Supongamos $d_t=\sum_{k=0}^\infty \rho^k (y_{t+k}-c_{t+k})$ y $\rho\in (0,1),y_t\geq 0,c_t>0\quad \forall t\geq 0$. ¿Implica $y_t\to 0,c_t\not\to 0$ que $d_t$ eventualmente sea negativo?

Mi intuición inicial era afirmativa, pero quiero estar seguro.

Ya he demostrado que para una secuencia genérica $z_t$, tenemos $$z_t \to z\iff \sum_{k=0}^\infty \rho^k z_{t+k}\to z/(1-\rho).$$

Entonces $c_t\not\to 0$ implica $\sum_{k=0}^\infty \rho^k c_{t+k}\not\to 0.$ Por lo tanto, $\exists \epsilon>0$ tal que $\sum_{k=0}^\infty \rho^k c_{t+k}>\epsilon$ para infinitos $t$.

Mientras tanto, $y_t\to 0$ implica $\sum_{k=0}^\infty \rho^k y_{t+k}\to 0$, entonces para algún $T$, $\sum_{k=0}^\infty \rho^k y_{t+k}<\epsilon$ para $t\geq T$.

Entonces $d_t$ debería ser negativo infinitas veces, pero ¿podemos decir que eventualmente siempre será negativo?

Answer 1

No, aunque encontrar un contraejemplo concreto es un asunto complicado.

Sea $y_t=\rho^t$. Entonces $$\sum_{k=0}^\infty \rho^k y_{t+k}=\sum_{k=0}^\infty \rho^{2k+t}=\frac{\rho^t}{1-\rho^2}.$$ Sea $c_t=1$ si $t=n^n$ para algún $n$ y $c_t=0$ en otro caso. Sea $t=n^n+1$. Entonces

$$\sum_{k=0}^\infty \rho^k c_{t+k}\leq\sum_{k=0}^\infty \rho^{k+(n+1)^{n+1}-n^n-1}=\frac{\rho^{(n+1)^{n+1}-n^n-1}}{1-\rho}<\frac{\rho^{n\cdot n^n}}{1-\rho}=\frac{\rho^{nt}}{1-\rho}.$$ Así que para $n$ grande, tenemos $d_t>0$.

Answer 2

Sí, creo que $d_t$ es eventualmente negativo debido al Teorema de Permanencia de Signo para secuencias. Lo recuerdo a continuación:

Teorema. Sea ${a_n}$ una secuencia de números reales. Y supongamos que $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=l>0$, $l\in \mathbb{R}$.

Entonces existe un $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n>n_0$ $a_n>0$.

(La afirmación contraria es si $l<0$, por supuesto).

Una serie de números reales es una secuencia, la secuencia de sumas parciales, y la suma de una serie es el límite de esa secuencia, así que el teorema se aplica.

Tu serie converge a un número negativo, $z/(1-\rho)$, donde $z$ es el límite de $(y_{k+k} -c_{t+k})$, por lo tanto la serie es eventualmente negativa.