Revisión de Roll - ¿CAPM y la tautología de media-varianza?

Question

Wikipedia presenta la tautología de varianza media de la crítica Roll:

Cualquier cartera eficiente en términos de varianza media $R_p$ satisface exactamente la ecuación CAPM: $$ E(R_i) = R_f + \beta_{ip}[E(R_p) - R_f] $$ Una cartera es eficiente en términos de varianza media si no hay ninguna cartera que tenga un rendimiento más alto y un riesgo menor que los de la cartera eficiente. La eficiencia en términos de varianza media de la cartera de mercado es equivalente al cumplimiento de la ecuación CAPM. Esta afirmación es un hecho matemático que no requiere ''ninguna'' suposición de modelo."

¿Alguien tiene una demostración simple o intuición de esto? La frontera de varianza media es una parábola con el rendimiento esperado a la izquierda; la línea tangente (índice de Sharpe) es diferente para cada punto de la parábola, si se utiliza cualquier cartera, se obtendría un índice de Sharpe diferente.

Sé que la respuesta está muy cerca pero no soy lo suficientemente inteligente para verla.

Tal vez mi pregunta sea: ¿de qué manera representa el CAPM el riesgo y el rendimiento óptimos - hay alguna relación con el Índice de Sharpe?

$$ \beta_{\text{CAPM}}= \mathrm{Cov}(x,m)/\mathrm{Var}(x) \\ \text{Sharpe}=\mathrm{E}(x)/\mathrm{Stdev}(x). $$ También se describe como una tautología - por ejemplo, en la anomalía Beta, los Betas no se alinean con los Rendimientos (demasiado planos), pero la formulación de la crítica de Roll es muy fuerte en el sentido de que la eficiencia en términos de varianza media y el CAPM son exactamente lo mismo, no aproximadamente.

Answer 1

Sea $R$ el vector de rendimientos de activos riesgosos, $\Sigma:=\text{Cov}[R]$ la matriz de covarianza de los rendimientos, $\mu:=E[R]$ el vector de rendimientos esperados, y $r:=R_f$ la tasa libre de riesgo.

Recordemos que la cartera eficiente en media-varianza $R_p$ con media $p:=E[R_p]$ tiene pesos

$$w_{p}:=\frac{\Sigma^{-1}(\mu-1r)}{(\mu-1r)'\Sigma^{-1}(\mu-1r)} (p-r)$$

en los activos riesgosos y $1-1'w_{p}$ en el activo libre de riesgo.

Ahora, es fácil verificar que

$$\text{V}[R_{p}]=\frac{(p-r)^2}{(\mu-1r)'\Sigma^{-1}(\mu-1r)} $$

$$\text{Cov}[R,R_p]=\frac{\mu-1r}{(\mu-1r)'\Sigma^{-1}(\mu-1r)} (p-r)$$

para que $\mu-1r=\frac{\text{Cov}(R,R_{p})}{\text{V}(R_{p})}[p-r]$ si $p\neq r$. Por lo tanto, el CAPM se cumple para $R_p$.

Nota que la recíproca también es cierta, es decir, si $R_p$ cumple con el CAPM, entonces $R_p$ debe ser eficiente en media-varianza.