Demanda Marshalliana de x^2+y^2

Question

Mi pregunta es respecto a un cálculo de demanda marshalliana simple. Dada una función de utilidad $u(x,y)=x^2+y^2$ y una restricción presupuestaria $p_1x+p_2y=m$. ¿Cuáles son las funciones de demanda marshalliana para cada x e y?

Utilizo el método de Lagrange, divido las dos ecuaciones de eficiencia entre sí para obtener $x/y=p_1/p_2$ y $x=p_1y/x$, sustituyo en la ecuación de restricción para resolver por $y=p_2m/p_1^2+p_2^2$ y luego de forma similar $x=p_1m/p_1^2+p_2^2$

Creo que esto es correcto, sin embargo mi tutor no está de acuerdo, llegan hasta $x/y=p_1/p_2$, luego por alguna razón dicen supongamos $p_1=p_2=m=1$ entonces $x=y=1/2$ y en general $x=m/p_1 , y=m/p_2$.

Alguien puede por favor informarme cuál es el correcto y por qué simplemente pueden asumir valores para los precios y el ingreso cuando la pregunta no indica esto.

Answer 1

Observa que los puntos de tangencia de la curva de indiferencia y la línea de presupuesto no son óptimos, ya que estos puntos se encuentran en una curva de indiferencia inferior en los tres casos en comparación con la curva de indiferencia a través de las elecciones óptimas.

Aquí está la demanda:

\begin{eqnarray*}(x^d,y^d)(p_X,p_Y, M)\in\begin{cases}\left\{\left(\dfrac{M}{p_X},0\right),\left(0,\dfrac{M}{p_Y}\right)\right\} & \text{si } p_X=p_Y \\ \left\{\left(0,\dfrac{M}{p_Y}\right)\right\} & \text{si } p_X>p_Y \\ \left\{\left(\dfrac{M}{p_X},0\right)\right\} & \text{si } p_X

Answer 2

Necesitas tener cuidado. Puedes aplicar el Lagrangiano a tu problema, pero la solución que obtendrás no será un máximo, sino un mínimo. La razón es que tu función objetivo $ x ^ 2 + y ^ 2 $ es convexa (y no cóncava).

Si estás optimizando $ x ^ 2 + y ^ 2 $, entonces lo mejor que puedes hacer es poner todo tu dinero en comprar $ x $ o todo tu dinero en comprar $ y $. La solución será la siguiente.

1. si $ p_x < p_y $ entonces pondrás todo tu dinero en comprar $ x $ (ya que podrás comprar más de $ x $ que de $ y $). Por lo tanto, será óptimo establecer $ x = \frac{m}{p_x} $ y establecer $ y $ igual a $ 0 $.
2. si $ p_y < p_x $, se aplica lo contrario, por lo que será óptimo establecer $ x = 0 $ y $ y = \frac{m}{p_y} $.
3. si $ p_y = p_x $, entonces se aplican ambos casos anteriores. Así que elegirás $ x = \frac{m}{p_x} $ y $ y = 0 $ o elegirás $ x = 0 $ y $ y = \frac{m}{p_y} $.