Tomando dos conjuntos $x$ y $y$, $x = (x_1, x_2, x_3)$ y $y = (y_1, y_2, y_3)$, entiendo que tengo que considerar tres casos para probar la convexidad, cuando $x\sim y$, $x\succ y$, $y\succ x$. Entiendo cuando $x\sim y$, pero no sé cómo probar la combinación convexa para los dos últimos casos.
Respuesta
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Sea $x, y, z \in \mathbb{R}_{+}^3$ conjuntos de consumo tales que $y \geq x, z \geq x$. Sea $\lambda \in [0,1]$.
\begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) = \min(\lambda (y_1,y_2,y_3) + (1 - \lambda) (z_1,z_2,z_3)) \end{equation}
Utilizando la desigualdad "el mínimo de una suma $\geq$ la suma de los mínimos"
\begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \min(\lambda (y_1,y_2,y_3)) + \min( (1 - \lambda) (z_1,z_2,z_3) ) \end{equation}
Dado que $\lambda \in [0,1]$, tenemos $\lambda \geq 0, 1 - \lambda \geq 0$, podemos factorizar cada uno de ellos fuera de cada mínimo.
\begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \lambda \min(y_1,y_2,y_3) + (1-\lambda) \min(z_1,z_2,z_3) \end{equation}
Recordando la definición de la función $u$
\begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \lambda u(y) + (1-\lambda) u(z) \end{equation}
Dado que $y \geq x, z \geq x$, tenemos que $u(y) \geq u(x), u(z) \geq u(x)$. Por lo tanto,
\begin{equation} u(\lambda y + (1-\lambda) z) \geq \lambda u(x) + (1-\lambda) u(x) = u(x) \end{equation}
A partir de aquí obtenemos que $\lambda y + (1-\lambda) z \geq x$.
Por lo tanto, concluimos que la relación de preferencia representada por $u$ es convexa.
Respuesta: Verdadero
