Los procesos de Wiener se utilizan para modelar diversos activos, y me pregunto por qué estamos introduciendo correlaciones entre los procesos de Wiener y cuál es la interpretación? Debido a que cuando las correlaciones entre dos procesos de Wiener son $\rho$, las correlaciones entre, por ejemplo, los precios de las acciones en el modelo de Black Scholes no serán iguales a $\rho$.
Respuesta
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Supongamos que modelamos dos acciones como \begin{align*} \text{d}S_1 &= \mu_1S_1\text{d}t+\sigma_1S_1\text{d}W_1 \\ \text{d}S_2 &=\mu_2S_2\text{d}t+\sigma_2 S_2\text{d}W_2 \end{align*} donde $\text{d}W_1\text{d}W_2=\rho \text{d}t$. Entonces, $\rho$ realmente mide la correlación de los retornos instantáneos: \begin{align} \mathbb{C}\text{ov}\left(\frac{\text{d}S_1}{S_1},\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right) = \sigma_1\sigma_2\mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}W_1,\text{d}W_2\right)=\sigma_1\sigma_2\rho\text{d}t. \end{align} Así, \begin{align} \mathbb{C}\text{orr}\left(\frac{\text{d}S_1}{S_1},\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right)=\frac{\mathbb{C}\text{ov}\left(\frac{\text{d}S_1}{S_1},\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right)}{\sqrt{\mathbb{V}\text{ar}\left[\frac{\text{d}S_1}{S_1}\right]\mathbb{V}\text{ar}\left[\frac{\text{d}S_2}{S_2}\right]}} = \frac{\sigma_1\sigma_2\rho\text{d}t}{\sigma_1\sigma_2\text{d}t}=\rho.
Esto también funciona para otros modelos. Consideremos el modelo de volatilidad estocástica de Heston (1993) \begin{align*} \text{d}S &= \mu S\text{d}t+\sqrt{v}S\text{d}W_1 \\ \text{d}v &=\kappa(\bar{v}-v)\text{d}t+\xi \sqrt{v}\text{d}W_2 donde $\text{d}W_1\text{d}W_2=\rho \text{d}t$. Entonces, la covarianza entre las innovaciones (cambios) en los precios de las acciones y las varianzas es \begin{align} \mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}S,\text{d}v\right) = S\xi v\mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}W_1,\text{d}W_2\right)=S\xi v\rho\text{d}t.
Así, \begin{align} \mathbb{C}\text{orr}\left(\text{d}S,\text{d}v\right)=\frac{\mathbb{C}\text{ov}\left(\text{d}S,\text{d}v\right)}{\sqrt{\mathbb{V}\text{ar}\left[\text{d}S\right]\mathbb{V}\text{ar}\left[\text{d}v\right]}}= \frac{S\xi v\rho\text{d}t}{S\xi v\text{d}t}=\rho.
Por lo tanto, $\rho$ mide no solo las correlaciones entre los cambios en las movimientos brownianos, sino que estas correlaciones suelen penetrar en variables económicas que son las variables reales de interés en el modelo.
