Demostrando la elección con recomendaciones

Question

Supongamos que hay dos tipos de resultados, es decir, $X=X_1 \cup X_2$ con $X_1 \cap X_2=$. Todos los resultados en $X_2$ son iguales para el tomador de decisiones (él no entiende este tipo de productos). Pide consejo a un amigo y luego elige entre la opción recomendada en $X_2$ y las opciones disponibles en $X_1$. Formalmente, $x\sim y$ para todo $x,y \in X_2$ y

$$C(A)=max_ \{(A X_1) R(A X_2)\}$$

Demuestra que este procedimiento de elección satisface WARP si $R$ satisface WARP.

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En estos tipos de preguntas, utilizo como definición de WARP:

Una función de elección $C$ satisface el axioma débil de preferencia revelada si para todo $Y,Z \in \mathcal{M}(X)$, $$Z\subset Y \quad\text{y}\quad C(Y)\cap Z\neq \quad \text{implica}\quad C(Z)=C(Y) Z.$$

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¿Alguien puede ayudarme a abordar esta demostración? Manejé fácilmente el caso con un conjunto no particionado, pero no pude hacerlo con este.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos $Z \subset Y$ y $C(Y) \cap Z \ne \emptyset$

Necesitamos demostrar que $C(Z) = C(Y) \cap Z$.

($\subset$) Sea $x \in C(Z) = \arg\max_{\succeq}\{(Z \cap X_1) \cup R(Z \cap X_2)\}$

Necesitamos demostrar que $x \in C(Y)$. Sea $y \in C(Y) \cap Z$ (lo cual existe ya que lo anterior no es vacío por suposición).

1. Si $y \in X_1$, entonces $y \in Z \cap X_1$, por lo tanto $x \succeq y$. Por definición de $y$, tenemos que $y \succeq w$ para todo $w \in Y \cap X_1$. Por transitividad, $x \succeq w$ para todo $w \in Y \cap X_1$. Además, $y \succeq w$ para todo $w \in R(Y \cap X_2)$. Nuevamente por transitividad, $x \succeq w$ para todo $w \in R(Y \cap X_2)$. Concluimos que $x \in \arg\max_{\succeq}\{(Y \cap X_1) \cup R(Y \cap X_2)\}$, entonces $x \in C(Y)$.

2. Si $y \in R(Y \cap X_2)$. Entonces $Z \cap X_2 \subset Y \cap X_2$ y $R(Y \cap X_2) \cap (Z \cap X_2) \ne \emptyset$ ya que este contiene a $y$. Como $R$ satisface WARP, tenemos que $R(Z \cap X_2) = R(Y \cap X_2) \cap (Z \cap X_2)$. Dado que $y$ está en esto, tenemos que $y \in R(Z \cap X_2)$. Dado que $x \in C(Z)$, podemos concluir que $x \succeq y$ una vez más. Como en el punto 1 anterior, podemos usar esto para mostrar que $x \in C(Y)$.

($\supset$) Sea $y \in C(Y) \cap Z$. Queremos mostrar que $y \in C(Z)$.

Tenemos que $y \in \arg\max_{\succeq}((Y \cap X_1) \cup R(Y \cap X_2))\}$.

1. Como $y \succeq x$ para todo $x \in Y \cap X_1$, tenemos que $y \succeq x$ para todo $x \in Z \cap X_1$.

2. Sea $w \in R(Y \cap X_2)$ y $z \in R(Z \cap X_2)$. Por definición, tenemos que $y \succeq w$ y por suposición $w \sim z$. Por lo tanto, $y \succeq z$. Esto se cumple para todo $z \in R(Z \cap X_2)$.

Concluimos que $y \succeq x$ para todo $x \in (Z \cap X_1) \cup R(Z \cap X_2)$, por lo tanto $y \in C(Z)$.