Ver Proposición 3.C.1 de MWG
Continúa a partir de este publicación, el libro (MWG) luego comenzó la prueba de que $\alpha(x)$ es una función continua:
Ahora argumentamos que $\alpha(x)$ es una función continua en todos los $x$; es decir, para cualquier secuencia $\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$ con $x=\lim_{n\to\infty}x^n$, tenemos $\lim_{n\to\infty}\alpha(x^n)=\alpha(x)$. Por lo tanto, considera una secuencia $\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $x=\lim_{n\to\infty}x^n$.
Pregunta rápida aquí: La razón por la que este párrafo es verdad se basa en el hecho de que cada punto de $\mathbb{R}^L_+$ es un punto límite de $\mathbb{R}^L_+$, ¿verdad? De lo contrario, la caracterización secuencial de la continuidad no será suficiente para demostrar que $\alpha(x)$ es continua en cada $x\in\mathbb{R}^L_+$.
Luego el libro puso:
Notamos que la secuencia $\{\alpha(x^n)\}_{n=1}^{\infty}$ debe tener una subsecuencia convergente. Por monotonía, para cualquier $\epsilon>0$, $\alpha(x')$ se encuentra en un subconjunto compacto de $\mathbb{R}_+$, $[\alpha_0,\alpha_1]$, para todos los $x'$ tales que $\|x'-x\|\leq\epsilon$ (ver la figura a continuación). Dado que $\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$ converge a $x$, existe un $N$ tal que $\alpha(x^n)$ se encuentra en este conjunto compacto para todos los $n>N$. Pero cualquier secuencia infinita que se encuentre en un conjunto compacto debe tener una subsecuencia convergente.
Mi pregunta sobre la parte en negrita en este párrafo: Intuitivamente, esto tiene sentido para mí, pero tuve dificultades para demostrar esto rigurosamente. Reformulé la parte en negrita de la siguiente manera:
Sea $\epsilon>0$. Sea $x'\in\mathbb{R}^L_+$ tal que $\|x'-x\|\leq\epsilon$. Entonces existen $\alpha_0$ y $\alpha_1$ en $\mathbb{R}_+$ tales que $\alpha(x')\in[\alpha_0,\alpha_1]$.
Este es mi intento de probarlo:
Supongamos lo contrario, que no existen $\alpha_0$ y $\alpha_1$ en $\mathbb{R}_+$ tal que $\alpha(x')\in[\alpha_0,\alpha_1]$. Entonces esto significa que o bien $\alpha(x')$ es negativo o $\alpha(x')=+\infty$. Si $\alpha(x')<0$, entonces $0\gg\alpha(x')e$, y la monotonía implicaría $0\sim0\succ\alpha(x')e\sim x'$, contradice el hecho de que $x\succsim0$ para todo $x\in\mathbb{R}^L_+$. Ahora supongamos que $\alpha(x')=+\infty$. Denotemos $x'=(x'_1,\dots,x'_L) \in \mathbb{R}^L_+$ y sea $x''=(x'_1+1,\dots,x'_L+1)$. Entonces $x''\gg x'$ y por lo tanto $x''\succ x'$. Sin embargo, $\alpha(x'')\leq\alpha(x')=+\infty$, lo cual contradice el hecho de que $\alpha(\cdot)$ representa $\succsim$. Por lo tanto, la afirmación anterior es correcta.
¿Es correcto mi intento?
¡Muchas gracias por cualquier ayuda!
