¿Cómo se puede demostrar que un mercado es incompleto utilizando el concepto de EMMs?

Question

Pregunta

Considera un árbol trinomial de un paso, donde hay dos activos negociados, un bono con tasa libre de riesgo, $r$, una acción con precio inicial, $S_0$, y precio terminal

$$S_T = \begin{cases} S_0u,& \text{con probabilidad} \ p_u \\ S_0m,& \text{con probabilidad} \ p_m \\ S_0d,& \text{con probabilidad} \ p_d \end{cases}$$ donde $p_u, p_m, p_d >0.$ Supongamos que $T = 1, r = 0.05, S_0 = 1, u =1.5, m = 1, d =\frac{1}{u}.$

1. Considerando el conjunto de EMMs (Medidas Equivalentes de Martingala) u otra cosa, muestra que el mercado es incompleto.

2. Supongamos una opción de compra europea sobre la acción con precio de ejercicio $0.9$ y tiempo de madurez T es un activo negociado en el mercado. Explica si incluir esta opción como un activo negociado en el mercado ha hecho que el mercado sea completo o no.

Mi intento

1. Desde mi comprensión, un mercado es completo si existe un EMM único. Además, si existen infinitos EMMs, entonces el mercado es incompleto. Por lo tanto, creo que es suficiente demostrar esto estableciendo la existencia de dos EMMs, $\mathbb{P}_1$ y $\mathbb{P}_2$ y concluir que $$\mathbb{P}_1 \neq \mathbb{P}_2$$ ya que luego podemos construir infinitos EMMs usando una combinación lineal de $\mathbb{P}_1$ y $\mathbb{P}_2$. Sin embargo, estoy atascado ya que no estoy seguro de cómo construir $\mathbb{P}_1$ y $\mathbb{P}_2$ y probar que $$\mathbb{P}_1 \neq \mathbb{P}_2.$$

2. Desde mi comprensión, un mercado es completo si hay al menos tantos activos negociables como fuentes de riesgo. En un entorno discreto, necesitaremos al menos tantos activos negociados con pagos linealmente independientes como estados de la naturaleza. Sin embargo, no estoy completamente seguro de cómo interpretar la oración anterior y como resultado, no estoy seguro si la inclusión de la opción hace que el mercado sea completo o no.

¡Se apreciarán explicaciones intuitivas!

Answer 1

Con respecto a tu primer problema, tienes razón en que la construcción de dos EMM's diferentes es suficiente para demostrar que el mercado es incompleto. Para que una medida candidata $\mathbb{Q}$ sea un EMM, requerimos que:

1. $q_d, q_m, q_u\in[0,1]$, y $q_u = 1-q_d-q_m$, para que $\mathbb{Q}$ sea una medida de probabilidad.
2. $q_d, q_m, q_u>0$, para la parte de equivalencia.
3. $S_0 = \mathrm{e}^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[S_T \right]$, para la parte de Martingala.

Al computar la expectativa obtenemos \begin{equation} S_0 = \mathrm{e}^{-rT}\left(0.5S_0q_d + S_0q_m + 1.5S_0(1-q_d-q_m)\right). \end{equation} Puedes demostrar que esta ecuación tiene múltiples soluciones para $q_d, q_m \in [0,1]$, y por lo tanto el mercado es incompleto.

Esto cambia si agregamos una opción de compra (no degenerada) al mercado. Tomemos tu ejemplo, de una opción de compra $C$ con precio de ejercicio $K=0.9S_0$. Por la propiedad de Martingala, \begin{align} C_0 &= \mathrm{e}^{-rT}\left(C_dq_d + C_mq_m + C_u(1-q_d-q_m)\right) \\ &= \mathrm{e}^{-rT}\left( S_0(1-0.9)q_m + S_0(1.5-0.9)(1-q_d-q_m)\right). \end{align} Combinando esto con nuestra primera ecuación, obtenemos un sistema de ecuaciones con una solución única, y por lo tanto solo existe un EMM.

Como nota adicional, esto debería dejar en claro por qué necesitamos que el nuevo activo sea linealmente independiente. Por ejemplo, agregar una opción de compra con precio de ejercicio $K=0.4S_0$ no llevaría a un mercado completo, ya que esto es una combinación lineal de $S_0$ y la cuenta bancaria.