Consideremos una economía de producción con 1 consumidor y 2 empresas. La utilidad del consumidor es $u(x,y)=xy$. La primera empresa produce $x$ utilizando capital y trabajo de acuerdo con la función de producción $x=k^\alpha l^{1-\alpha}$ y la segunda empresa produce $y$ utilizando $k,l$ mediante $y=k^\beta l^{1-\beta}$. La cantidad total de capital y trabajo disponibles en la economía están fijas en $K$ y $L$ respectivamente y son propiedad del consumidor. El consumidor también es dueño de ambas empresas.
¿Cómo encuentro los precios de equilibrio para $x$ y $y$?
Supongamos que normalizamos el precio de $y$ a ser 1. La primera empresa maximiza las ganancias: $$px-rk_1-wl_1\;\;s.t. x=k_1^\alpha l_1^{1-\alpha}\implies \max (pk_1^\alpha l_1^{1-\alpha}-rk_1-wl_1)$$ Por condición de primer orden, $\alpha p k_1^{\alpha-1}l_1^{1-\alpha}=r$ y $(1-\alpha)p k_1^\alpha l_1^{-\alpha}=w$. Así, $$k_1=\frac{\alpha l_1 w}{(1-\alpha)r}$$ sustituyendo esto de vuelta en $x=k_1^\alpha l_1^{1-\alpha}$ tenemos $l_1=\frac{x}{\left(\frac{\alpha w}{(1-\alpha r)}\right)^\alpha}$. Entonces $k_1=\frac{\alpha l_1 w}{(1-\alpha)r}=(\frac{\alpha}{1-\alpha})^{1-\alpha}(\frac{w}{r})^{1-\alpha}x$. Pero no puedo eliminar el $x$. ¿Cómo debo proceder?
