¿Cómo encuentro el precio de equilibrio walrasiano?

Question

Consideremos una economía de producción con 1 consumidor y 2 empresas. La utilidad del consumidor es $u(x,y)=xy$. La primera empresa produce $x$ utilizando capital y trabajo de acuerdo con la función de producción $x=k^\alpha l^{1-\alpha}$ y la segunda empresa produce $y$ utilizando $k,l$ mediante $y=k^\beta l^{1-\beta}$. La cantidad total de capital y trabajo disponibles en la economía están fijas en $K$ y $L$ respectivamente y son propiedad del consumidor. El consumidor también es dueño de ambas empresas.

¿Cómo encuentro los precios de equilibrio para $x$ y $y$?

Supongamos que normalizamos el precio de $y$ a ser 1. La primera empresa maximiza las ganancias: $$px-rk_1-wl_1\;\;s.t. x=k_1^\alpha l_1^{1-\alpha}\implies \max (pk_1^\alpha l_1^{1-\alpha}-rk_1-wl_1)$$ Por condición de primer orden, $\alpha p k_1^{\alpha-1}l_1^{1-\alpha}=r$ y $(1-\alpha)p k_1^\alpha l_1^{-\alpha}=w$. Así, $$k_1=\frac{\alpha l_1 w}{(1-\alpha)r}$$ sustituyendo esto de vuelta en $x=k_1^\alpha l_1^{1-\alpha}$ tenemos $l_1=\frac{x}{\left(\frac{\alpha w}{(1-\alpha r)}\right)^\alpha}$. Entonces $k_1=\frac{\alpha l_1 w}{(1-\alpha)r}=(\frac{\alpha}{1-\alpha})^{1-\alpha}(\frac{w}{r})^{1-\alpha}x$. Pero no puedo eliminar el $x$. ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

1. Su sistema de ecuaciones puede parecer aterrador, pero no lo es, es lineal en $x$, por lo que las cosas podrían seguir bien.

2. Hay mucha información que aún no está utilizando. El consumidor maximiza la utilidad (probablemente utilizando las ganancias), la otra empresa maximiza las ganancias, la cantidad de recursos disponibles es fija, en equilibrio también hay equilibrio en el mercado de recursos.

3. Al combinar tus dos primeras condiciones de primer orden en una, estás perdiendo algo de información, nota que el precio ha salido completamente de tus ecuaciones. Así que asegúrate de recordar que eventualmente probablemente también tendrás que usar una condición de primer orden.

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4. ¿Usar algunas fórmulas? Simplemente memorizar fórmulas es de mala forma, y es posible que también tengas que 'mostrar tu trabajo', pero si has hecho varios Lagrangianos para las funciones de Cobb-Douglas, podrías notar que la fórmula $$k_1=\frac{\alpha l_1 w}{(1-\alpha)r}$$ también tiene esta forma (frecuentemente utilizada): $$|\text{MRTS}(k_1,l_1)| = \frac{\alpha}{(1-\alpha)}\frac{l_1}{k_1}= \frac{r}{w}$$ lo cual es útil porque es fácil de recordar, y usando estas fórmulas no necesitas hacer los cálculos básicos para las funciones de producción de Cobb-Douglas. (Similarmente, ver MRS para funciones de utilidad C-D.)