En la estimación del sistema en demanda, teóricamente requerimos que esta matriz sea simétrica. Desafortunadamente, esto no es el caso la mayor parte del tiempo.
¿Cuáles son algunas razones por las que la simetría de la matriz de Slutsky puede fallar empíricamente?
Las condiciones necesarias y suficientes en un sistema de demanda son la homogeneidad de grado 0, la simetría de Slutsky y la negatividad de Slutsky.
Desde un punto de vista teórico, la simetría de la matriz de Slutsky se debe al hecho de que las derivadas parciales cruzadas de la función de gasto son iguales (teorema de Young). Si $e(p,u)$ es la función de gasto, entonces la demanda hicksiana del bien $i$ es la derivada de $e(p,u)$ con respecto al precio del bien $i$, digamos $p_i$. Entonces: $$ \frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_j} = \frac{\partial^2 e(p,u)}{\partial p_j \partial p_i} = \frac{\partial^2 e(p,u)}{\partial p_i \partial p_j} = \frac{\partial h_j(p,u)}{\partial p_i}. $$ Por lo tanto, la simetría proporciona la condición básica de integrabilidad.
La negatividad de la matriz de Slutsky es equivalente al requisito de que la función de gasto sea cóncava. Como tal, obtenemos las conexiones intuitivas:
Aquí uso el símbolo $\sim$ para decir que están relacionados (aunque) no necesariamente uno a uno desde una perspectiva matemática pura.
También parece haber una fuerte conexión entre los diversos axiomas de preferencia revelada y las condiciones de Slutsky. En particular, WARP (el axioma débil de preferencia revelada) parece estar estrechamente vinculado con la negatividad de la matriz de Slutsky (ver (Samuelson,1938) para una exposición).
Por ejemplo, sea $\widetilde{x}$ el conjunto óptimo al precio $p$, entonces $\widetilde{x} = x(p, p \cdot \widetilde{x})$ donde $x(p,m)$ es la demanda marshalliana a precios $p$ e ingreso $m$. Considere un cambio de precio compensado a $\widehat{p}$ dando origen a una nueva demanda $\widehat{x} = x(\widehat{p}, \widehat{p} \cdot \widetilde{x})$ (para que el nuevo presupuesto aún pueda pagar el paquete $\widetilde{x}$). Entonces, $$ \widehat{p} \cdot \widehat{x} = \widehat{p} \cdot \widetilde{x} $$ y WARP requiere que: $$ p \cdot \widetilde{x} < p \cdot \widehat{x}. $$ Luego sumando y reescribiendo obtenemos $$ (\widehat{p} - p) \cdot (\widehat{x} - \widetilde{x}) < 0. $$ Ahora, si especificamos $\widehat{p} = p + t v$ para algún vector $v$, obtenemos: $$ t v \cdot (x(p + v t, (p+vt)\cdot \widetilde{x}) - x(p, p \cdot \widetilde{x}) < 0. $$ dividiendo por $t^2$ y tomando el límite para $t \to 0$ obtenemos, $$ v \cdot S \cdot v < 0. $$ donde $S$ es la matriz de Slutsky. Como $v$ puede ser cualquier vector, esto significa que $S$ debe ser negativa definida.
Ahora, dado que WARP no agota todas las implicaciones testables en una función de demanda, la parte restante debería estar relacionada con la simetría de la matriz de Slutsky. En particular, la simetría de Slutsky parece estar estrechamente relacionada con la transitividad de la relación de preferencia (revelada). Me remito a Hurwicz & Richter (1979) que vinculan la simetría con el llamado axioma de Ville ya que el argumento no es tan directo.
De cualquier manera, si resumimos parece que:
Por supuesto, esto no es un mapeo teórico uno a uno, pero debería dar alguna intuición conductual detrás de los dos requisitos de Slutsky.
Juntos, WARP y la transitividad dan lugar al Axioma Fuerte de Preferencia Revelada (SARP) (ver Houthakker,1950). Se sabe que esto agota todas las implicaciones testables en funciones de demanda (homogéneas) (para ser consistentes con la maximización de la utilidad).
Nota interesante: se sabe que si solo hay dos bienes, entonces WARP es equivalente a SARP (ver Rose,1958). También se sabe que en el caso de dos bienes, la simetría de Slutsky siempre se cumple (se sigue de la agregación de Engel y la homogeneidad de grado 0). Por lo tanto, WARP (o la negatividad de la matriz de Slutsky) es suficiente en el caso de 2 bienes.
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