Ayuda con una prueba para un problema de optimización de utilidad bastante intuitivo

Question

Supongamos que $U(x,y,a,c )= - c x + B(x,y,a)$, con $\frac{\partial B(x,y,a)}{\partial c }=0$, y con $a$ y $c\geq 0$ como parámetros, y con $x$ y $y$ como variables. Además, $B(x,y,a)$ es continua y dos veces continuamente diferenciable en todas sus entradas. Además, el $(x,y)$ que maximiza $U(x,y,a,c )$ es único en todas partes y es continuo en $a$ y $c$.

Supongamos que $(x_1,y_1)$ maximiza $U(x,y,a_1,c )$, y que $(x_2,y_2)$ maximiza $U(x,y,a_2,c )$, y que $0\leq x_1.

Sea $U^*(a):=\underset{x,y}{\max} U(x,y,a,c)$.

Para demostrar: $\frac{\partial U^*(a_1)}{\partial c } > \frac{\partial U^*(a_2)}{\partial c } $

Answer 1

Parece que puedes definir dos problemas objetivos con las características que mencionaste anteriormente y simplemente tomar las derivadas con respecto a $c$ para ilustrar esto.

Bajo tu especificación tenemos dos funciones de valor:

$$U(x_1,y_1,a_1,c)=-cx_1+B(x_1,y_1,a_1)$$ $$U(x_2,y_2,a_2,c)=-cx_2+B(x_2,y_2,a_2)$$

Tomando la derivada de las dos ecuaciones anteriores con respecto a $c$ obtenemos:

$$\frac{\partial U(x_1,y_1,a_1,c)}{\partial c}=-x_1$$ $$\frac{\partial U(x_2,y_2,a_2,c)}{\partial c}=-x_2$$

Basado en la suposición de que $0\leq x_1 se sigue que $\frac{\partial U(x_1,y_1,a_1,c)}{\partial c}>\frac{\partial U(x_2,y_2,a_2,c)}{\partial c}$.