Solución de covarianza estacionaria a la ecuación

Question

¿Existe una solución estacionaria de covarianza para la ecuación?

$X_t = 4 \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t, \quad \text{donde } \{ \varepsilon_t \} \in WN(0, \sigma^2), t \in \mathbb{Z}$.

Lamentablemente no tengo ni idea de cómo manejar este ejercicio. Mi única idea fue verificar si $X_t$ es estacionario en covarianza. Entonces, ¿es cierto que

1. $E(X_t) = const$,
2. $\gamma(t,t+l) = Cov(X_t, X_{t+1}) = \gamma(s, s+l)$.

Pero, ¿es una buena idea?

Answer 1

El proceso en cuestión es un proceso de media móvil de orden uno,

$$\varepsilon_t = \frac {1} {1+\theta L} X_t = \frac {1} {1-(-\theta) L} X_t, \qquad \theta =4.$$

Aquí $L$ es el operador de rezagos, $L^k(z_t) = z_{t-k}$. El proceso es estacionario en covarianza independientemente del valor de $\theta$, pero no es invertible ya que $\theta \geq 1$, por lo que no tiene una representación autorregresiva $AR(\infty)$.

Dado que $\theta \geq 1$ podemos resolverlo "hacia adelante", de la siguiente manera: Primero, definimos el operador hacia adelante $F^k \equiv L^{-k}, F^k(z_t) = z_{t+k}$.

Segundo, notamos que

$$\frac {1} {1-(-\theta) L} = \frac{1}{\theta L[-(-\theta^{-1})L^{-1} +1]} = \frac{\theta^{-1}L^{-1}}{1-(-\theta)^{-1}L^{-1]} = \frac{\theta^{-1}F}{1-(-\theta^{-1})F}$$

Entonces, dado que $\theta^{-1} <1$,

$$\frac {1} {1-(-\theta) L} = \theta^{-1}F\cdot [1-\theta^{-1}F + \theta^{-2}F^{2}-\theta^{-3}F^{3}+...]$$

Por lo tanto, $$\varepsilon_t = X_t \cdot \theta^{-1}F\cdot [1-\theta^{-1}F + \theta^{-2}F^{2}-\theta^{-3}F^{3}+...]$$

$$\implies \varepsilon_t = \sum_{j=1}^{\infty}\frac {(-1)^{j+1}}{\theta^j}X_{t+j}$$

Esta es la solución "hacia adelante", cuando el proceso de media móvil no es invertible.

Supongo que ahora el OP puede determinar si esta solución es estacionaria en covarianza.