Estoy repasando un examen pasado de un curso de macroeconomía que estoy tomando y me he quedado atascado en la última parte de una de las preguntas.
Supongamos que tenemos una economía de tres sectores. Se nos dan $B_a,B_s>0$, una variable tecnológica $A_t$ que crece a una tasa $g$ y es tal que $A_0=1$, y niveles iniciales de capital $k_{m0},k_{s0},k_{a0}$. Hay un bien agrícola que se produce de acuerdo a $$a_t=B_ak_{at}^{\alpha}(h_{at}A_t)^{1-\alpha}$$ De manera similar, un bien de servicio se produce de acuerdo a $$s_t=B_sk_{st}^{\alpha}(h_{st}A_t)^{1-\alpha}$$ Luego, hay una producción manufacturera que puede ser utilizada para inversión o consumo $$c_t+k_{t+1}-(1-\delta)k_t=k_{mt}^{\alpha}(h_{mt}A_t)^{1-\alpha}$$ Normalice el precio del bien manufacturado en 1 y permita que el precio del bien agrícola y de servicio sea denotado por $P_{at}$ y $P_{st}$, respectivamente. Suponga que los mercados laboral y de capital son perfectamente competitivos con los hogares suministrando una unidad de trabajo. Tenemos las condiciones de equilibrio de mercado laboral y de capital $$h_{at}+h_{st}+h_{mt}=1$$ y $$k_{at}+k_{st}+k_{mt}=k_t$$ Los hogares tienen una utilidad de la forma $$\sum_{t=0}^{\infty}\beta^t\frac{[(a_t-\bar{a})^{\eta}c_t^{\gamma}(s_t+\bar{s})^{\theta}]^{1-\sigma}}{1-\sigma}$$ sujeta a la restricción presupuestaria por periodo $$P_{at}a_t+c_t+k_{t+1}-(1-\delta)k_t+P_{st}s_t=w_t+R_tk_t$$
Suponga que $\eta,\theta,\gamma,\sigma>0$, $\eta+\theta+\gamma=1$, y que $\bar{a}B_s=\bar{s}B_a$.
La pregunta nos pide encontrar las tasas de crecimiento de $a_t,s_t,c_t,k_{t+1}$ y clasificar las tasas de crecimiento de los sectores.
Hasta ahora he calculado a partir de las condiciones de primer orden que $$s_t+\bar{s}=\frac{\theta B_s}{\gamma}c_t$$ y $$a_t-\bar{a}=\frac{\eta B_a}{\gamma}c_t$$ y he encontrado a partir de la restricción presupuestaria que $$k_{t+1}=k_t^{\alpha}A_t^{1-\alpha}+(1-\delta)k_t-\frac{c_t}{\gamma}$$ Creo que la restricción presupuestaria implica que tanto $k_t$ como $c_t$ crecen a la tasa $g$ ya que de lo contrario no tienen un crecimiento equilibrado. Sin embargo, no puedo ver cómo $s_t$ o $a_t$ pueden tener un crecimiento equilibrado dadas las ecuaciones que tengo, así que creo que debo haber cometido un error, pero no puedo ver dónde está y no puedo decir si es uno algebraico o conceptual.
Dado lo que tengo, creo que obtengo que $$\frac{\Delta s_t}{s_{t-1}}=g\left(1+\frac{\bar{s}}{s_{t-1}}\right)$$ y $$\frac{\Delta a_t}{a_{t-1}}=g\left(1-\frac{\bar{a}}{a_{t-1}}\right)$$
Esto daría la ordenación $g_{at}, pero esto está mal ya que este no es un camino de crecimiento equilibrado ya que $g_{at}$ y $g_{st}$ dependen del tiempo.
¿Podría alguien indicarme dónde estoy cometiendo un error o cómo puedo resolver este problema?
