Asignación de ganancias y pérdidas de bonos de una manera similar a los swaps

Question

En el comercio de renta fija, una cartera puede tener un gran número de posiciones de derivados (permutas) que generalmente se agregan en puntos agrupados en una curva y una estimación de PnL suele derivarse a través de una expansión de Taylor de primer (y/o segundo) orden multiplicando los riesgos de delta (gamma) agrupados con los movimientos del mercado en esos instrumentos agrupados.

Por ejemplo,

$$ P \approx \mathbf{S} \cdot \Delta \mathbf{r} = S_i \Delta r_i $$

Con bonos, todos los cuales pueden tener diversas madureces y atributos que afectan sus cambios en el día, la estimación de PnL más precisa suele ser tomar el riesgo en un bono individual, multiplicarlo por el cod de ytm y obtener un PnL directamente para ese instrumento:

Por ejemplo,

$$ P \approx \mathbf{B} \cdot \Delta \mathbf{y} = B_i \Delta y_i $$

El enfoque de permuta proporciona una mejor representación visual de los datos y es más estático. ¿Cómo puedo conciliar los datos pnl de bonos contra una presentación de datos al estilo de permuta?

Answer 1

Un método que he utilizado se describe a continuación (adaptando la notación de Einstein, los índices repetidos se suman).

Primero, segregue la lista de bonos por curva del emisor, para que se pueda realizar el mismo análisis repetidamente en bonos que comparten las características más similares.

En segundo lugar, idear un mapa de riesgos, $A_{ij}$, que transforma un bono de vencimiento, $m$, en una serie de riesgos equivalentes de swap. Luego, la matriz de compartimentos de riesgos equivalentes de swap, $i$, para cada bono, $j$, es:

$$ S_{ij} = A_{ij} B_j, \qquad \text{tal que} \quad \sum_{i} S_{ij} = B_j$$

Un ejemplo básico es usar interpolación lineal; un bono con un vencimiento de 1.25 años se asigna 75% al compartimento de 1 año y 25% al compartimento de 2 años.

En tercer lugar, buscamos los cambios $\Delta r_i$ que, cuando se aplican a los riesgos equivalentes de swap, devuelven el PnL total, P, pero que también minimizan el error cuadrado si estos cambios se aplican a cada bono individual.

$$ \min_{\Delta r_i} \; \sum_j (S_{ij}\Delta r_i - P_j)^2 \qquad \text{sujeto a} \quad \sum_j S_{ij} \Delta r_i = P $$

Este problema se reduce a un sistema de álgebra lineal que es solucionable mediante inversión de matrices. Ver derivación.

Derivación:

Escriba el Lagrangiano y sus derivadas del problema de optimización,

$$ L(\Delta r_i, \lambda) = \sum_j (S_{ij}\Delta r_i - P_j)^2 - \lambda \left ( P - \sum_j S_{ij} \Delta r_i \right ) \\ L_{\Delta r_k} = 2 S_{kj} ( S_{ij} \Delta r_i -P_j) + \lambda \sum_j S_{kj} \\ L_{\lambda} = P - \sum_j S_{ij} \Delta r_i \\ $$

Notando que estas derivadas satisfacen cero en su forma mínima, se forma la ecuación matricial en bloque:

$$ \begin{bmatrix} 2 \mathbf{SS^T} & : & \mathbf{S \delta} \\\\ ... & : & ... \\\\ \left ( \mathbf{S \delta} \right )^{\mathbf{T}} & : & 0\\\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta \mathbf{r} \\\\ ... \\\\ \lambda \\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \mathbf{SP} \\\\ ... \\\\ P \\\\ \end{bmatrix} $$

Problemas:

Dependiendo del número de bonos y del número de compartimentos de swap, este sistema puede estar subespecificado, sobreespecificado o totalmente especificado. También depende de los vencimientos de los bonos. En general, es probable que haya problemas para la inversión de matrices, por lo que una solución es introducir un término de regularización que signifique que CoD debería favorecer valores más cercanos a cero.

$$ \min_{\Delta r_i} \; \sum_j (S_{ij}\Delta r_i - P_j)^2 + \frac{\gamma}{2} \Delta r_i \Delta r_i$$

Esto altera la matriz en bloque al agregar una identidad escalada en la parte superior izquierda:

$$ 2\mathbf{SS^T} \rightarrow 2\mathbf{SS^T} + \gamma \mathbf{I} $$

Cuando todos los PnL de los bonos son cero, esto crea una columna a la derecha de ceros y una fila inferior de ceros y una matriz sin inversa. En este caso no hay información y es efectivamente una solución degenerada. Todos los CoD podrían igualmente establecerse en cero. Establecer el elemento inferior de la matriz en bloque en 1 también podría producir esta solución sin errores de tiempo de ejecución. Para su uso en Excel, $\gamma$ podría establecerse bastante alto, por ejemplo, 1e6, para evitar problemas numéricos y proporcionar una matriz con una mejor condición.

Answer 2

Voy a discutir una metodología de explicación de ganancias y pérdidas de bonos, basada en varios documentos de Tomasz Bielecki y de Duffie y Singleton, que muchos en la industria utilizan con éxito para bonos con riesgo de crédito y credit default swaps.

Supongo que ya estás satisfecho con tu explicación de ganancias y pérdidas para swaps de tasas de interés (respuesta relacionada).

Para los credit default swaps simples de un solo nombre, la explicación de ganancias y pérdidas es clara: tienes sensibilidades a las comillas de CDS, utilizas la expansión de Taylor. Si ocasionalmente cambias las suposiciones de recuperación, entonces debes incluirlas también en la explicación de ganancias y pérdidas. Si tu objetivo es reducir las ganancias y pérdidas no explicadas para los CDS, entonces definitivamente debes incluir las sensibilidades de tasas de interés de primer orden en la expansión de Taylor, y si realmente quieres minimizar las ganancias y pérdidas no explicadas, entonces include la gama de comillas de CDS, y las gamas cruzadas entre las comillas de CDS, las tasas de interés, las suposiciones de recuperación y el tiempo. Las contribuciones de las gamas cruzadas probablemente sean demasiado pequeñas para ser interesantes, pero aún son útiles para minimizar las pérdidas y ganancias no explicadas.

Estos derivados se marcan según el modelo, lo que hace que la explicación de ganancias y pérdidas sea directa. Nos gustaría reducir los bonos con riesgo de crédito, cuyos precios son observables, a marca por modelo. Si hay una curva de CDS disponible para este crédito (de lo contrario, ver abajo), y resuelve la base de bonos-CDS, un factor de mercado adicional para los bonos. La base te dice cuánto deben desplazarse las curvas para explicar el precio observable, típicamente no más de unos cientos de puntos básicos hacia arriba o hacia abajo. Si valoras los flujos de efectivo proyectados (predecibles) del bono utilizando un modelo de precios de derivados de crédito, pasando las tasas de interés, las comillas de CDS y las suposiciones de recuperación y la base de bonos-CDS como datos de entrada de mercado, reproducirás el precio observado del bono. (Notas técnicas: estás reproduciendo el precio sucio del bono, incluyendo los intereses devengados y cualquier factor de amortización; además, a diferencia de los CDS, un bono acumulado se elimina en el incumplimiento). Puedes calcular las sensibilidades del precio del modelo a las tasas de interés, los CDS y la base de bonos-CDS; y ejecutar una explicación de ganancias y pérdidas como para los CDS arriba, pero agregando la delta, gamma y gamas cruzadas de la base de bonos-CDS a la explicación para el bono.

Si tu curva de CDS no es observable, entonces ajústala a partir de los precios observables de bonos líquidos pari passu con los tuyos. En este caso, es probable que la base de bonos-CDS sea pequeña o cero, pero no es un problema. Prácticamente, deberías tener un procedimiento para rechazar el uso de comillas de CDS observables de una fuente como CMA si no parecen realistas.

Si los bonos tienen una calificación de inversión tan alta que no tiene sentido mirar sus CDS con probabilidades de incumplimiento y suposiciones de recuperación, entonces simplemente puedes usar algunos puntos básicos de spread genérico. Por ejemplo, las ganancias y pérdidas de algún Muni fueron tantas porque las tasas de interés se movieron, tantas porque el spread genérico para todos los Munis con calificación AA se movió, y tanto porque este bono se movió de manera idiosincrática de una forma que no se explica por las tasas de interés y el spread genérico.

También puedes no usar ningún spread genérico, sino atribuir las ganancias y pérdidas a cada Z-spread de bono individual y a las tasas de interés.

Por cierto, para bonos en efectivo, es esclarecedor incluir en la atribución de ganancias y pérdidas el costo de financiamiento de cada posición individual, ya que puede variar mucho para diferentes bonos.