Risk.net ha publicado recientemente una historia sobre la "hipótesis de importancia del riesgo" que se refiere a Sharpe’s Arithmetic y la Hypothesis de Matters Hypothesis por Haghani, Ragulin y White (2023).
Si entiendo su mensaje correctamente, la afirmación es que una cartera activa gestionada promedio logrará peores rendimientos ajustados al riesgo (medidos con el coeficiente de Sharpe, supongo) que la cartera pasiva. ¡Los indexadores de todo el mundo se regocijan! Pero, dado que el álgebra utilizada en el artículo parece menos rigurosa de lo deseado, intenté validar este resultado con algunos números concretos simples, y llegué a una conclusión divergente, por decirlo así.
Dejemos la tasa libre de riesgo en 0. Existe una cartera de mercado que produce un rendimiento esperado de $\mu_m$\=5% con un riesgo de $\sigma_m$\=10%. También se puede invertir en una cartera activa gestionada, que devuelve en promedio $\mu_a$\=10% pero con un riesgo aumentado de manera proporcional $\sigma_a$\=20%. Ambos deberían ser independientes por lo que $\rho_{ma}$\=0, de lo contrario, sin pérdida de generalidad, podríamos simplemente contar la parte correlacionada de la cartera activa como parte de la cartera de mercado pasiva y tratar solo el resto como "activo" - de todos modos esto puede relajarse, los cálculos a continuación también funcionan para $\rho_{ma}$!=0.
Existe un fondo 1 que ha invertido $w_{1m}$\=1 000 000 en el mercado y $w_{1a}$\=100 000 en el instrumento activo. Obtiene un rendimiento esperado de $\mu_m w_{1m} + \mu_a w_{1a}$ = 60 000 y soporta un riesgo de $\sqrt{\mu^2_m w^2_{1m} + \mu^2_a w^2_{1a}}$\=101 980, por lo que logra un coeficiente de Sharpe de $SR_1$\=58,8%.
Dado que en conjunto solo se puede invertir en el mercado, también debe haber un fondo 2 que ha hecho short con $w_{2a}$\=-$w_{1a}$\=-100 000 en la cartera gestionada activamente, y también digamos que ha puesto $w_{2m}$\=2 000 000 en el mercado. Este fondo obtiene un rendimiento esperado de $\mu_m w_{2m} + \mu_a w_{2a}$ = 90 000 a cambio de un riesgo de $\sqrt{\mu^2_m w^2_{2m} + \mu^2_a w^2_{2a}}$\=200 998, con un $SR_2$\=44,8%.
Esto significa que un coeficiente de Sharpe "promedio" entre los fondos existentes es (58,8%+44,8%)/2=51,8%. Compare esto con un inversor pasivo que simplemente invierte todo en la cartera de mercado, obteniendo un $SR$\=$\mu_m$/$\sigma_m$\=50%. Parecería que el "gerente activo" promedio puede superar en términos de rendimiento ajustado por riesgo (antes de los costos, por supuesto, y para este conjunto de parámetros).
¿O es que entendí algo muy simple y fundamental sobre el artículo?
