(B) Define el conjunto de empresas como $F= \{1,2,3,....N \}$
La función de demanda dada por $P=a -bQ$
Deje que la cantidad producida por la empresa líder sea $q_l $ para algún $l \in F$
Dado que es un juego extensivo (asumiendo que toda la información perfecta está disponible para todos) de elegir cantidad y el Líder siendo el primer jugador puede anticipar la elección por el resto de las empresas (es decir, su mejor respuesta a la elección de cantidad del líder)
Podemos intentar usar la inducción hacia atrás para llegar al Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos
Intentemos averiguar la mejor respuesta de cada una de las empresas restantes a la elección de cantidad del líder en el período inicial $t_0$ y a la elección de las otras empresas (juego simultáneo)
Además del líder, cada empresa $j$ intenta maximizar sus ganancias dadas por:-
$$\underset{q_j\geq0}{max} \: \left(a-b(q_l + q_j + \sum_{k\neq \{j, l\}} q_k)\right) q_j - cq_j$$
$ \: \: \: \forall \: k \in F - \{ q_l , q_j\}$
Esto produce
$BR_j (q_l,\sum_{k\neq \{j, l\}} q_k)$ = $\left\{\begin{matrix} \frac{a-bq_l - b\sum_{k \neq \{j, l\}} q_k -c}{2b}& si \: \frac{a-c}{b} \geq q_l + \sum_{k\neq \{j, l\}} q_k \\ 0& de lo contrario \end{matrix}\right.$
Dado que es simétrico para todas las $j$
$ Q_{-l} = \sum_{j \neq l}q_j$
$ = \left\{\begin{matrix} \frac{N-1}{bN}(a-bq_l -c) & si \: \frac{a-c}{b} \geq q_l \\ 0 & de lo contrario \end{matrix}\right. $
Ahora, el líder toma en cuenta la información anterior al tomar la decisión
$\underset{q_l\geq0}{max} (a - b(q_l + Q_{-i}))q_l -cq_l $
$s.t. Q_{-i} = \left\{\begin{matrix} \frac{N-1}{bN}(a-bq_l -c) & si \: \frac{a-c}{b} \geq q_l \\ 0 & de lo contrario \end{matrix}\right. $
Esto resultaría en un resultado de ENPS tal que $q_l^* = \frac{a-c}{2b}$ y
$q_{i \neq l}^* = \frac{a-c}{2bN}$ para todas las empresas que no sean l (líder)
