Análisis de estabilidad lineal del modelo básico de Solow

Question

Actualmente estoy leyendo Macroeconomía avanzada de Romer, y me encuentro con una pregunta sobre la estabilidad lineal del modelo en el estado estacionario.

Tenemos la ecuación clave $k'(t)=sf(k(t))-(n+g+\delta)k(t)$, donde $k$ es capital por trabajador efectivo, $n,g,\delta$ representan la tasa de crecimiento constante de trabajo, conocimiento y tasa de depreciación de capital, respectivamente.

Usando análisis de estabilidad lineal, el estado estacionario es cuando $k'(t)$ es cero, representado por $\bar k$. Podemos verificar la naturaleza del estado estacionario usando $sf'(\bar k)-(n+g+\delta)$. Queremos demostrar que el signo de esto es negativo.

Sabemos que $f'(k) >0$ y $f''(k)<0$, además de otras suposiciones sobre $f$ dadas en el modelo de Solow. ¿Es posible demostrarlo matemáticamente?

Answer 1

Se plantea la suposición de que $f$ es estrictamente cóncava en $k$, por lo que la pendiente promedio $$\frac{f(k) - f(0)}{k - 0}$$ es mayor que $f'(k)$.

También utilizaré la suposición frecuentemente hecha de que $f(0) = 0$, aunque sería suficiente que $f(0) \geq 0$.

Juntando estas dos ideas, obtenemos $$f'(k) < \frac{f(k) - f(0)}{k - 0} = \frac{f(k)}{k}$$ o $$f'(k)k < f(k).$$ En el estado estacionario $$sf( \bar k ) - (n+g+\delta) \bar k = 0.$$ Sustituyendo en nuestra desigualdad $$sf'( \bar k ) \bar k - (n+g+\delta) \bar k < 0.$$ si $\bar k \neq 0$, entonces no estamos en el estado estacionario 'trivial', podemos dividir por $\bar k$ y obtenemos $$sf'( \bar k ) - (n+g+\delta) < 0.$$

---

En el caso de que $f(0) < 0$ tendrías un estado estacionario donde $f(k)$ intersecta la línea $(n+g+\delta)k$ desde abajo, con una pendiente más alta. Este estado estacionario sería inestable. Lo mismo ocurre cuando $\bar k = 0$ y $f(0) = 0$.