Permite que la tasa de interés sin riesgo r sea constante. Consideremos la siguiente dinámica subyacente bajo la medida física P
dSt=μtStdt+σtStdWPt,
donde WP es un proceso de Wiener bajo P. En muchos casos, esta dinámica subyacente bajo la medida neutral al riesgo Q es simplemente
dSt=rStdt+σtStdWQt,
entonces solo se reemplaza el término μt con r.
¿Se mantiene lo mismo si la dinámica subyacente bajo P es básicamente un proceso de Ornstein-Uhlenbeck?
dSt=μtStdt+σtdWPt?
¿O estos dos procesos tienen la misma forma, solo que el término σt contiene un término 1St?
Incluso el proceso de precio de riesgo de mercado es tan extraño en este caso y realmente no estoy seguro de cómo cambiar de medida...
Considera el siguiente mercado, donde
dSt=μtStdt+σtStdWPt
es la dinámica del activo con riesgo,
dBt=rBtdt
es la dinámica del activo libre de riesgo.
La dinámica de la cartera de replicación autofinanciable que contiene un activo libre de riesgo β y un activo con riesgo γ es
dXt=βtdBt+γtdSt=βtrBtdt+γtμtStdt+γtσtStdWPt=βtrBtdt+γtμtStdt+rγtStdt−rγtStdt+γtσtStdWPt=r(βtBt+γtSt)dt+γtStσt(μt−rσtdt+dWPt)=rXtdt+γtStσt(μt−rσtdt+dWPt).
En este caso sabemos cómo cambiar de medida si es posible, y el precio de riesgo de mercado es μt−rσt. Pero si la dinámica del activo con riesgo es el proceso de Ornstein-Uhlenbeck como se discutió anteriormente, entonces no podemos "sacar el término St fuera del corchete", es decir:
dXt=βtdBt+γtdSt=βtrBtdt+γtμtStdt+γtσtdWPt=βtrBtdt+γtμtStdt+rγtStdt−rγtStdt+γtσtdWPt=r(βtBt+γtSt)dt+γtσt(μtSt−rStσtdt+dWPt)=rXtdt+γtσt(μt−rσtStdt+dWPt).
¿Existe algún método adecuado para cambiar de medida en este caso? Supongo que sí, pero no estoy seguro de que en este caso signifique que "solo tenemos que cambiar μt por r".
