Permite que la tasa de interés sin riesgo $r$ sea constante. Consideremos la siguiente dinámica subyacente bajo la medida física $\mathbf{P}$
$$dS_{t}=\mu_{t}S_{t}dt+\sigma_{t}S_{t}dW_{t}^{\mathbf{P}},$$
donde $W^{\mathbf{P}}$ es un proceso de Wiener bajo $\mathbf{P}$. En muchos casos, esta dinámica subyacente bajo la medida neutral al riesgo $\mathbf{Q}$ es simplemente
$$dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma_{t}S_{t}dW_{t}^{\mathbf{Q}},$$
entonces solo se reemplaza el término $\mu_{t}$ con $r$.
¿Se mantiene lo mismo si la dinámica subyacente bajo $\mathbf{P}$ es básicamente un proceso de Ornstein-Uhlenbeck?
$$dS_{t}=\mu_{t}S_{t}dt+\sigma_{t}dW_{t}^{\mathbf{P}}?$$
¿O estos dos procesos tienen la misma forma, solo que el término $\sigma_{t}$ contiene un término $\frac{1}{S_{t}}$?
Incluso el proceso de precio de riesgo de mercado es tan extraño en este caso y realmente no estoy seguro de cómo cambiar de medida...
Considera el siguiente mercado, donde
$$dS_{t}=\mu_{t}S_{t}dt+\sigma_{t}S_{t}dW_{t}^{\mathbf{P}}$$
es la dinámica del activo con riesgo,
$$dB_{t}=rB_{t}dt$$
es la dinámica del activo libre de riesgo.
La dinámica de la cartera de replicación autofinanciable que contiene un activo libre de riesgo $\beta$ y un activo con riesgo $\gamma$ es
$$dX_{t} =\beta_{t}dB_{t}+\gamma_{t}dS_{t}=\beta_{t}rB_{t}dt+\gamma_{t}\mu_{t}S_{t}dt+\gamma_{t}\sigma_{t}S_{t}dW_{t}^{\mathbf{P}} =\beta_{t}rB_{t}dt+\gamma_{t}\mu_{t}S_{t}dt+r\gamma_{t}S_{t}dt-r\gamma_{t}S_{t}dt+\gamma_{t}\sigma_{t}S_{t}dW_{t}^{\mathbf{P}} =r\left(\beta_{t}B_{t}+\gamma_{t}S_{t}\right)dt+\gamma_{t}S_{t}\sigma_{t}\left(\frac{\mu_{t}-r}{\sigma_{t}}dt+dW_{t}^{\mathbf{P}}\right) =rX_{t}dt+\gamma_{t}S_{t}\sigma_{t}\left(\frac{\mu_{t}-r}{\sigma_{t}}dt+dW_{t}^{\mathbf{P}}\right).$$
En este caso sabemos cómo cambiar de medida si es posible, y el precio de riesgo de mercado es $\frac{\mu_{t}-r}{\sigma_{t}}$. Pero si la dinámica del activo con riesgo es el proceso de Ornstein-Uhlenbeck como se discutió anteriormente, entonces no podemos "sacar el término $S_{t}$ fuera del corchete", es decir:
$$dX_{t} =\beta_{t}dB_{t}+\gamma_{t}dS_{t}=\beta_{t}rB_{t}dt+\gamma_{t}\mu_{t}S_{t}dt+\gamma_{t}\sigma_{t}dW_{t}^{\mathbf{P}} =\beta_{t}rB_{t}dt+\gamma_{t}\mu_{t}S_{t}dt+r\gamma_{t}S_{t}dt-r\gamma_{t}S_{t}dt+\gamma_{t}\sigma_{t}dW_{t}^{\mathbf{P}} =r\left(\beta_{t}B_{t}+\gamma_{t}S_{t}\right)dt+\gamma_{t}\sigma_{t}\left(\frac{\mu_{t}S_{t}-rS_{t}}{\sigma_{t}}dt+dW_{t}^{\mathbf{P}}\right) =rX_{t}dt+\gamma_{t}\sigma_{t}\left(\frac{\mu_{t}-r}{\sigma_{t}}S_{t}dt+dW_{t}^{\mathbf{P}}\right).$$
¿Existe algún método adecuado para cambiar de medida en este caso? Supongo que sí, pero no estoy seguro de que en este caso signifique que "solo tenemos que cambiar $\mu_{t}$ por $r$".
