¿Cómo puedo escribir la función de costo unitario de esta función de producción anidada?

Question

Suponga que hay una función de producción como sigue:

$$h=\left\{ \left[ \sum_{j=1}^N{s_{j}^{\mu}} \right] ^{\frac{1}{\mu}} \right\} ^{\beta}l^{1-\beta}$$

El precio de $s_j$ es $p_j$ y el salario de $l$ es $w_l$. $h$ es el bien final y $\mu ,\beta ,N$ son parámetros. Intenté usar el método de Lagrange para calcular la función de costos, pero fracasé. ¿Cómo resolver la función de costos de este tipo de función de producción?

Answer 1

Puede configurar el problema de minimización de costos explícitamente, pero podría ser más fácil considerar la similitud con el problema del consumidor que maximiza la utilidad y primero mirar el problema dual de maximización de utilidades.

Si es así, el problema de maximización de utilidad (producción) toma la forma: $$\max_{s_j, \ell} \left(\left(\sum_{j= 1}^N s_j^\mu\right)^{1/\mu}\right)^\beta \ell^{1 - \beta} \text{ s.t. } \sum_j p_j s_j + w \ell = m.$$ Esta función de utilidad es débilmente separable, por lo que podemos usar un presupuesto de dos etapas donde en la segunda etapa uno elige de manera óptima $s_1, \ldots, s_N$ dados los gastos en estos bienes. Sea $z = \sum_{j} p_j s_j$ el gasto en los bienes $s_j$. Entonces la segunda etapa se puede escribir como: $$\max_{s_j} \left(\sum_{j = 1}^N s_j^\mu\right)^{1/\mu} \text{ s.t. } \sum_j p_j s_j = z.$$ Esta función de producción es una CES estándar. Por lo tanto, la función de utilidad indirecta toma la forma (verificar): $$\left(\sum_{j = 1}^N s_j^\mu\right)^{1/\mu}= \underbrace{\left(\sum_j p_{j}^{1 - \mu}\right)^{1/(\mu - 1)}}_{=P} z.$$ Sustituyendo en la función de utilidad se obtiene el problema de la primera etapa: $$\max_{z, \ell} (Pz)^\beta \ell^{1-\beta} \text{ s.t. } z + y = m$$ Ahora, reparametrizando $x = P z$ y $p = 1/P$ se obtiene el siguiente problema: $$\max_{z, \ell} (x)^\beta \ell^{1-\beta} \text{ s.t. } px + w \ell = m$$ Este es un problema estándar de maximización de utilidad Cobb-Douglas, por lo que la utilidad indirecta es (verificar): $$v(p,w,m) = \beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta} \left(1/p\right)^{\beta} \left(1/w\right)^{1-\beta} m$$ Dado esto, podemos sustituir $p= 1/P$ para obtener: $$v(p, w, m) = \beta^\beta (1-\beta)^{1-\beta} \left(\sum_j p_j^{1 - \mu}\right)^{\beta/(\mu - 1)} \left(1/w\right)^{1-\beta} m$$ Esto proporciona la función de utilidad indirecta. La función de gasto (costo) se puede obtener invirtiéndola con respecto a $m$: $$c(p,w, y) = \left(1/\beta\right)^\beta \left(1/(1-\beta)\right)^{1-\beta} \left(\sum_j p_j^{1-\mu}\right)^{-\beta/(\mu - 1)} \left(w\right)^{1-\beta} y.$$ Tenga en cuenta que esto es lineal en $y$ ya que la función de producción es homogénea de grado 1.