Al parecer, en muchas aplicaciones puede haber alguna interpretación económica para el multiplicador de Lagrange y, por lo tanto, podría ser beneficioso asegurar que su valor tome un signo específico.
Si lo anterior está destinado, entonces claramente la elección de signo para el multiplicador en el Lagrangiano debería corresponder a una elección de restar ya sea el LHS o el RHS en la restricción.
Por ejemplo, digamos que tenemos un agente $i$ con utilidad cuasilineal sobre dos bienes, $(c_1, c_2)$ que resuelve \begin{align*} &\max_{c_{i1}, c_{i2}} u_i(c_{i1}) + \beta c_{i2} \\ &\text{sujeto a} \\ p_1c_{i1} + c_{i2} = &a_i \end{align*}
El Lagrangiano típicamente construido sería entonces \begin{align*} \mathcal{L} = u_i(c_{i1}) + \beta c_{i2} + \lambda_i(a_i - p_1 c_{i1} - c_{i2}) \end{align*}
Ahora también podríamos escribir esto como \begin{align*} \mathcal{L} = u_i(c_{i1}) + \beta c_{i2} - \lambda_i(p_1 c_{i1} + c_{i2} - a_i) \end{align*}
y los signos en nuestras condiciones de primer orden no cambiarían, es decir \begin{align*} c_{i1}:& u_{i, c}(c_{i1}) = \lambda_i p_1 \\ c_{i2}:& \beta = \lambda_i \end{align*}
Ahora digamos que elegimos una de las siguientes construcciones \begin{align*} \mathcal{L} = u_i(c_{i1}) + \beta c_{i2} - \lambda_i(a_i - p_1 c_{i1} - c_{i2}) \\ \mathcal{L} = u_i(c_{i1}) + \beta c_{i2} + \lambda_i(p_1 c_{i1} + c_{i2} - a_i) \end{align*}
lo que nos da condiciones de primer orden \begin{align*} c_{i1}:& u_{i, c}(c_{i1}) = -\lambda_i p_1 \\ c_{i2}:& \beta = -\lambda_i \end{align*}
Aquí parece que la única diferencia sería que $\lambda_i$ tomaría un valor negativo, dado que $\beta$ debería ser positivo.
Supongo que mi pregunta es: ¿cómo deberíamos pensar tanto en nuestra elección de signos para el multiplicador de Lagrange (es decir, si sumamos o restamos el multiplicador) junto con nuestra construcción de la restricción (es decir, si restamos el LHS o el RHS de ambos lados de la ecuación de la restricción)? En el contexto de las restricciones presupuestarias, he visto que el multiplicador se define como un "precio sombra", lo que me haría suponer que deseamos un valor positivo para $\lambda_i$. Entonces, ¿cómo aseguramos que esto se cumplirá cuando construimos inicialmente el Lagrangiano? ¿Es algo así como:
"Si $f(x, y)$ es nuestra función objetivo y $g(x, y) = c$ es nuestra restricción, entonces el Lagrangiano es de la forma $\mathcal{L} = f(x, y) - \lambda(g(x, y) - c)$ o $\mathcal{L} = f(x, y) + \lambda(c - g(x, y))$" ¿y ya está?
