Esta es una pregunta que surgió en una de las pruebas de ingreso de años anteriores a un programa de maestría en una institución de renombre en mi país. También adjunto cómo abordé el problema en cada parte de la pregunta. Estoy atascado en la parte (c) y la parte (d). Realmente no tomé economía pública como licenciatura, por lo tanto, estoy en una situación un poco complicada aquí. Además, la pregunta parece extraña ya que no hay bienes privados.
Considere una ciudad con $n$ personas en la que cada persona recibe un beneficio de bienestar de $U(G)$ por tener $G$ hectáreas de parques públicos en la ciudad. Suponga que el costo de proporcionar cada hectárea de parques es de $\ 1,000,000 \space $ en unidades de moneda local. La utilidad neta de la persona $i$ que contribuye con $c$ millones para la provisión de parques es $U(G) - c$ cuando hay $G$ hectáreas de parques públicos en la ciudad. $U(.)$ es estrictamente creciente y estrictamente cóncava, y $U'(G)$ tiende a $\infty$ a medida que $G$ se acerca a cero desde la derecha.
(a) Si un planificador social utilitario decide el nivel de provisión de parque $G^*$ con el costo financiado por impuestos per cápita iguales, ¿qué condición debe satisfacer $G^*$ [5 puntos]
Mi respuesta: Problema del Planificador Social $$max_{G}\space n[U(G)-c]$$ La condición necesaria de primer orden para el óptimo interior $G^*$ es $U'(G^*)=0$. Es decir, el beneficio marginal de aumentar otra hectárea de provisión de parque público es cero para el individuo representativo. Además, como $U''(G)<0$ $\space \space (\because \space U(.) \space es \space cóncava)$ la solución óptima anterior es de hecho un máximo global.
(b) Suponga que cada persona decide voluntariamente cuánto contribuir a un fondo que se utilizará para la provisión de parques, tomando las contribuciones de las demás personas como dadas. ¿Qué condición debe satisfacer el nivel resultante de provisión de parque $G_s$? ¿Cómo se compara con el óptimo del planificador social? [5 puntos]
Mi respuesta: $$G = \sum c_i $$ Cada agente resuelve
$$max_{c_i} \space \space U(\sum _{j\ne i}c_j +c_i )-c_i $$
La condición necesaria de primer orden para el óptimo interior es $$U'(\sum _{j\ne i}c_j +c_i )-1 =0$$ $$\implies U'(\sum _{j\ne i}c_j +c_i ) = 1 \implies U'(G_s)=1$$
Dado que $U'(.)$ es decreciente $(\because U''(.)<0)$ por lo tanto $$U'(G^*)=0<1=U'(G_s) \implies G^*>G_s$$
Ahora aquí está el problema. Partes (c) y (d).
(c) Ahora suponga que el nivel de provisión de parque se decide mediante votación. Cada persona vota por su propio nivel de provisión más preferido sabiendo que el costo será compartido equitativamente entre los residentes de la ciudad. La elección del votante mediano se implementará. ¿Qué condición debe satisfacer el nivel resultante de provisión $G_m$? ¿Cómo se compara con el óptimo $G^*$ del planificador social? [5 puntos]
Mi enfoque: Siempre podemos renombrar a los residentes de la ciudad de tal manera que el nivel preferido de provisión pública para el residente $i$, $G_i$ satisfaga $G_1 \le G_2 \le ...\le G_i\le G_{i+1}\le ...G_{n}$
Luego hay dos casos: Si $n$ es impar, se implementará $G_m = G_{\frac{n+1}{2}}$. Si $n$ es par, se implementará $G_m = \frac{1}{2}(G_{\frac{n}{2}}+G_{\frac{n+1}{2}})$.
Realmente no puedo comparar esto con $G^*$. Siento que se debería haber proporcionado algún tipo de distribución. Ya sea una función de masa de probabilidad o función de distribución acumulativa.
(d) Ahora suponga en cambio que un tercio de los votantes obtienen cada uno un beneficio de bienestar de $3U(G)$ de $G$ hectáreas de parques, mientras que los dos tercios restantes obtienen cada uno un beneficio de bienestar de $U(G)$ como antes. Los costos son como antes. Ahora compare la solución de los planificadores sociales con la obtenida mediante votación mediana. [5 puntos]
Nuevamente el mismo problema que en la parte (c).
