En el artículo de jacod et al los autores utilizaron la función de pre-promediado para lidiar con el ruido de la microestructura. Sugieren la función más sencilla que es $$\bar{Z_i} = \frac{1}{kn} \left( \sum_{j=kn/2}^{kn-1} Z_{i+j}-\sum_{j=0}^{kn/2-1}Z_{i+j} \right) \tag{3.13}$$ Lo que no está muy claro, es por qué se utiliza un "menos" dentro del paréntesis en lugar de un "más" que tendría más sentido ya que estamos calculando un promedio?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\bar{Z}_i$ denota los rendimientos pre-promediados:
La diferencia dentro del corchete, proviene del hecho de que $\bar{Z}_i$ es una instancia particular de rendimientos pre-promediados, cuando la función de ponderación se elige como $g(x) = \min(x,1-x)$ y para $k_n$ siendo par.
La intuición
En Econometría de Alta Frecuencia a menudo se trabaja bajo la suposición de observar un proceso de log-precio ruidoso:
$$ Z_i^n = X_i^n + \epsilon_i^n, \tag{1.1} $$ donde $X_i^n$ es el verdadero proceso de log-precio latente para $n$ observaciones intradía y $\epsilon_i^n$ es el proceso de ruido asociado. El objetivo principal de las medidas realizadas robustas al ruido es mitigar el impacto del ruido en el proceso de log-precio observable.
Una técnica de este tipo, el estimador pre-promediado, logra este objetivo calculando un promedio ponderado basado en las diferencias de precios observables (también conocidas como rendimientos de log ruidosos). Esta operación efectivamente "promedia" el ruido inherente en el proceso de log-precio observable.
Derivando $\bar{Z}_i$
La fórmula generalizada para el estimador pre-promediado proporcionada por los autores, se expresa como: \begin{align*} \bar{Z}_i^n &= \sum_{j=1}^{k_n-1} g\left(\frac{j}{k_n}\right) \left(Z_{i+j} - Z_{i+j-1}\right) \\ &= -\sum_{j=0}^{k_n-1} \left(g\left(\frac{j+1}{k_n}\right) - g\left(\frac{j}{k_n}\right)\right) Z_{i+j}, \tag{3.5} \end{align*}
donde, $k_n = \theta \sqrt{n}$ define la longitud de la ventana de pre-averaging y aumenta con la tasa de muestra ($\theta$ es definido por el usuario). Además, la numeración de ecuaciones se alinea con las convenciones establecidas en el papel referenciado, aunque con un cambio de notación de $V_i$ a $Z_i$.
Si empleamos la función de ponderación $g(x) = \min(x,1-x)$, se vuelve evidente que:
$$ g\left(\frac{j}{k_n}\right) = \begin{cases} \frac{j}{k_n}, \qquad\qquad\:\: \text{para } \frac{j}{k_n} \leq \frac{1}{2}\\ 1- \frac{j}{k_n}, \qquad\quad \text{para } \frac{j}{k_n} > \frac{1}{2}\\ \end{cases}, $$ implicando que estamos en el primer escenario cuando $j \leq \frac{1}{2}k_n$ y en el segundo caso contrario. Sustituir la función de ponderación en la ecuación (3.5), bifurca la suma en dos escenarios: uno donde se suma sobre $j \leq \frac{1}{2}k_n$ y el otro para $j > \frac{1}{2}k_n$. Reducir la ecuación da como resultado el resultado esperado (eq. 3.13 en el papel):
\begin{align*} \bar{Z}_i^n &= -\sum_{j=0}^{k_n/2-1} \left(\frac{j+1}{k_n} - \frac{j}{k_n}\right)Z_{i+j} - \sum_{j=k_n/2}^{k_n-1} \left(\left(1-\frac{j+1}{k_n}\right) - \left(1-\frac{j}{k_n}\right)\right)Z_{i+j}\\ &= - \frac{1}{k_n} \sum_{j=0}^{k_n/2-1} Z_{i+j} + \frac{1}{k_n} \sum_{j=k_n/2}^{k_n-1} Z_{i+j}\\ &= \frac{1}{k_n} \left(\sum_{j=k_n/2}^{k_n-1} Z_{i+j} - \sum_{j=0}^{k_n/2-1} Z_{i+j}\right) \end{align*}
Como podemos observar, es necesario asumir que $k_n$ es par y $k_n \geq 2$, para garantizar una indexación de suma válida.
