¿Puede existir una estrategia mixta que sea estrictamente dominante si no hay una estrategia pura estrictamente dominante?

Question

Consideremos un juego de movimiento simultáneo con dos jugadores, 1 y 2. El jugador 1 no tiene ninguna estrategia pura que sea estrictamente dominante. ¿Es posible que el jugador 1 tenga una estrategia mixta que sea estrictamente dominante?

Una estrategia estrictamente dominante se puede definir como una estrategia, digamos $s_d$, con un pago que es mayor que el pago de cualquier otra estrategia $s_i$, independientemente de la estrategia jugada por el jugador 2. Siguiendo esto, ¿se define una estrategia mixta estrictamente dominante como la combinación de $n$ estrategias, digamos $S_m$ con probabilidades asociadas $p_m$ de tal manera que el pago esperado de la combinación de estrategias $S_m$ sea mayor que todos los demás pagos esperados posibles de estrategias mixtas? ¿Se deben analizar las estrategias mixtas con el mismo número de estrategias, n, o también se deben incluir todas las demás en la comparación? Si se define de esa manera, ¿cómo se debería abordar la pregunta anterior? ¿Hay alguna forma de probar la respuesta matemáticamente?

Answer 1

No es posible que una estrategia mixta (no pura) sea estrictamente dominante. Una estrategia mixta puede ser débilmente dominante, pero solo si todas las estrategias puras en su soporte son débilmente dominantes.

Esto se sigue esencialmente del hecho de que es imposible que el promedio (ponderado) de varios números sea mayor que todos los números originales. En este contexto, fije cualquier estrategia (posiblemente mixta) para el jugador 2. Considere una estrategia mixta para el jugador 1 que juega cada estrategia pura $s_i$ con probabilidad $p_i$. Sea $u(s_i)$ la utilidad esperada que recibe el jugador $1$ al jugar $s_i$ contra la estrategia del jugador $2$. Luego, su utilidad esperada total es $\sum_{i} p_i u(s_i)$. Pero como $\sum_{i} p_i = 1$, a su vez esto es a lo sumo $\max_{i} u(s_i)$, que es la utilidad que habrían obtenido al jugar su mejor estrategia pura, lo que significa que la estrategia mixta no podría haber sido estrictamente dominante.