¿Cuáles son los axiomas más comunes para definir una relación de preferencia estricta?

Question

Me pregunto cuáles son los axiomas estándar con los que usualmente se definen la indiferencia y (particularmente) la preferencia estricta. Normalmente, una relación de preferencia débil para el agente $i$ en un conjunto $X$, denotada $R_i$, es una relación binaria que satisface:

1. Transitividad: para todo $a, b, c \in X$, $aR_ib$ y $bR_ic$ implican $aR_ic$.
2. Completitud: para todo $a, b \in X$, $aR_ib$ o $bR_ia$.
3. Reflexividad: para todo $a \in X$, $aR_ia$ (implicado por completitud).

Entiendo que una relación de indiferencia, denotada $I_i$, es una relación binaria que satisface:

1. Transitividad: para todo $a, b, c \in X$, $aI_ib$ y $bI_ic$ implican $aI_ic$.
2. Reflexividad: para todo $a \in X$, $aI_ia$.
3. Simetria: para todo $a, b \in X$, $aI_ib$ si y solo si $bI_ia$.

Finalmente, una relación de preferencia estricta, denotada $P_i$, es una relación binaria que satisface:

1. Transitividad: para todo $a, b, c \in X$, $aP_ib$ y $bP_ic$ implican $aP_ic$.
2. Irreflexividad: para todo $a \in X$, $\neg aP_ia$.

Sin embargo, una relación de preferencia estricta también parece cumplir con:

1. Asimetría: para todo $a, b \in X$, $aP_ib$ implica $\neg bP_ia$.
2. Antisimetria: para todo $a, b \in X$, $aP_ib$ y $bP_ia$ implican $a=b$.

Tengo algunas preguntas relacionadas cercanamente:

1. ¿Cuáles son los axiomas más comunes para definir una relación de preferencia estricta?
2. ¿Existen colecciones de axiomas diferentes pero correctas para definir la preferencia estricta? Si es así, ¿cuáles son?
3. ¿Mis axiomas para la preferencia débil y la indiferencia son correctos?

Answer 1

Una relación $P$ es negativamente transitiva si $\neg(xPy)$ y $\neg(yPz)$ implican $\neg(xPz)$.

Si $\succeq$ es una relación transitiva y completa, entonces la relación $\succ$ definida por $x\succ y\iff(x\succeq y)\wedge\neg(y\succeq x)$ es irreflexiva, transitiva y negativamente transitiva. La prueba es un ejercicio simple.

Por otro lado, si $\succ$ es irreflexiva, transitiva y negativamente transitiva, entonces la relación $\succeq$ definida por $x\succeq y\iff\neg(y\succ x)$ es transitiva y completa. La transitividad de $\succeq$ se sigue directamente de la negativa transitividad de $\succ$. Para ver que $\succeq$ es completa, argumentamos por contradicción. Supongamos que para algún $x,y$, no se cumple ni $y\succeq x$ ni $x\succeq y$. Entonces, tenemos, por definición, tanto $x\succ y$ como $y\succ x$. Dado que $\succ$ es transitiva, tenemos $x\succ x$, en contradicción con $\succ$ siendo irreflexiva.

Cabe destacar que el argumento también funciona si reemplazamos la transitividad y la irreflexividad con la asimetría.