¿Cuándo está aumentando argmax en algún multiplicador de la función objetivo?

Question

Sea $f : R_+ \to [0,1]$ continuamente diferenciable y estrictamente creciente con $f(0)=0, \lim_{x\to\infty}f(x)=1$ y sea $c : R_+ \to R_+$ continuamente diferenciable, estrictamente creciente, convexa, y que cumple con $c(0)=c'(0)=0$ y $\lim_{x \to \infty} c(x)=\lim_{x\to \infty}c'(x)=\infty$.

¿Qué condiciones en $f$ se necesitan para que la solución a

$$ \max_{x\in[0,1]} \ \alpha f(x) - c(x) $$

sea estrictamente creciente en $\alpha>0$? (Esto es cierto si $f$ es lineal.)

Answer 1

En primer lugar, necesitamos condiciones adicionales sobre $f$ más allá de las que proporcionaste en la pregunta. Considera $c(x)=\frac{1}{2}x^2$ y $f(x)=\tanh x$, ambas restringidas al dominio $\mathbb{R}_+$. Estas funciones satisfacen tus suposiciones. Sin embargo, existe un $\bar{\alpha}$ lo suficientemente grande para que para todo $\alpha>\bar{\alpha}$, $x^*(\alpha) =\text{argmax}_{x} \ \alpha f(x)-c(x)$ sea una solución en esquina en $x^*(\alpha)=1$ entonces $x^*(\alpha)$ no puede ser $\textit{estrictamente}$ creciente.

Para eliminar los problemas de soluciones en esquinas, supongamos que $$\text{Im}_{\alpha>0} \ \text{argmax}_{x\in [0,1]}\{\alpha f(x)-c(x)\}\subseteq (0,1)$$ donde $\text{Im}$ indica la imagen del argmax.

Esta condición requiere más suposiciones. Supongamos más allá de tus suposiciones dadas que, $f''<0$, con $\lim_{x\to 1}f'(x)=0$ y $\lim_{x\to 0}f'(x)=\infty$. La condición $\lim_{x\to 1}f'(x)=0$ contradice tu suposición de que $f$ sea estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}_+$. Sin embargo, esto es necesario para una solución interior sobre $[0,1]$ para todo $\alpha >0$. Tenemos una solución en esquina en $x=1$ si $\alpha f'(1)-c'(1)>0 \implies \alpha >\frac{c'(1)}{f'(1)}$. Si $f'(1)>0$, entonces existe un $\tilde{\alpha}$ para el cual obtenemos una solución en esquina y para todo $\alpha>\tilde{\alpha}$ también obtenemos $x=1$ como una solución en esquina. Esto significaría que la solución no es estrictamente creciente en $\alpha$ así que tenemos que eliminar este comportamiento.

Siguiendo los comentarios de Bertrand y BakerStreet, suponiendo que $f$ satisface las condiciones de Inada anteriormente mencionadas, cualquier máximo interior satisface la FOC $$0=\alpha f'(x^*(\alpha))-c'(x^*(\alpha)):=\mathscr{F}(x^*(\alpha),\alpha)$$ aplicando el teorema de la función implícita \begin{align*} \frac{dx^*(\alpha)}{d\alpha}=-\frac{\left(\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial \alpha}\right)}{\left(\frac{\partial \mathscr{F}}{\partial x}\right)}=-\frac{f'(x^*(\alpha))}{\alpha f''(x^*(\alpha))-c''(x^*(\alpha))}>0 \end{align*}

Donde la desigualdad sigue ya que $f',c''>0$ y $f''<0$.

Por lo tanto, asumiendo que la solución es interior para todo $\alpha>0$, la concavidad estricta de $f$ es todo lo que necesitas.