¿Por qué esta economía de intercambio no tiene un equilibrio walrasiano?

Question

Considera una economía de intercambio con $n$ individuos y 2 bienes $x, y$. Todos los individuos tienen la misma función de utilidad $u(x, y)=x^2+y^2$ y la misma dotación inicial $w=(1,1)$.

Intenté resolver el problema con el Lagrangiano: \begin{align*} x^2+y^2\\ p_x x+p_y y=p_x+p_y\\ \implies L=x^2+y^2+\lambda (p_x+p_y-p_x x+p_y y)\\ [x]2x=\lambda p_x\\ [y]2y=\lambda p_y\\ \implies \frac{x}{y}=\frac{p_x}{p_y}\\ \implies x=y\frac{p_x}{p_y}\\ \implies \frac{p_x^2}{p_y}y+p_y y=p_x+p_y\\ \implies x^*=\frac{p_y(p_x+p_y)}{p_x^2+p_y^2} \end{align*} luego por el equilibrio de mercado, $n\frac{p_y(p_x+p_y)}{p_x^2+p_y^2}=n\implies \frac{p_y(p_x+p_y)}{p_x^2+p_y^2}=1\implies p_x=p_y$, lo cual parece ser un precio de equilibrio perfectamente válido para mí. Esto implica que cada individuo es autárquico. Pero esta economía no tiene un equilibrio de Walras. ¿Por qué es eso? ¿Y el primer teorema del bienestar se mantiene en esta economía (cada equilibrio Walrasiano es óptimo de Pareto)?

Answer 1

La economía que describiste tiene un Equilibrio de Walras cuando $n$ es par. La proporción de precio de equilibrio es $\dfrac{p_X}{p_Y}=1$. La asignación de equilibrio correspondiente es cualquier asignación en la que $\frac{n}{2}$ agentes consumen los paquetes $(x,y)=(2,0)$ cada uno, y los $\frac{n}{2}$ agentes restantes consumen los paquetes $(x,y)=(0,2)$ cada uno. Verificar que esta asignación es Pareto eficiente. Por lo tanto, el primer teorema del bienestar se cumple.

Sin embargo, cuando $n$ es impar, el equilibrio no existe. Dado que no hay equilibrio competitivo en este caso, el primer teorema del bienestar se cumple vacuamente.