¿Cómo encuentro el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto?

Question

Supongamos que hay 2 individuos y 2 bienes. $u_1(x_1,y_1)=x_1+2y_1$, y $u_2(x_2,y_2)=x_2+y_2$. Hay 2 unidades del bien $x$ y 1 unidad del bien $y$ en total.

¿Cómo encuentro el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto para esta economía? Esto es lo que tengo: $$\begin{align*} \max x_2+y_2\\ \text{s.t. }(2-x_2)+(1-y_2)=\bar{u}\implies x_2+2y_2=4-\bar{u}\\ \implies \max_x x+\frac{4-\bar{u}-x}{2}\\ \text{s.t. }0\leq x\leq 2 \end{align*}$$ Así, $x_2=2$ es el óptimo. ¿Es esto correcto? Además, supongamos que en el equilibrio de Walras $p_x^*=1$. ¿Cuál es el mínimo y máximo que podría tener $p_y^*$?

Answer 1

En la economía que proporcionaste, el conjunto de asignaciones factibles es

$\mathcal{F}=\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_1+x_2=2 \ \wedge \ y_1+y_2=1\}$

y está representado por puntos en la Caja de Edgeworth.

El conjunto de asignaciones eficientes de Pareto es

$\mathcal{PE}=\{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|x_1=0 \ \vee \ y_1=1\}$

y está representado por los límites izquierdo y superior de la caja.

Aquí está la imagen: