Encontrar la Función de Utilidad para una Asignación Óptima en el Modelo de Elección del Consumidor

Question

Estoy trabajando en un modelo de elección del consumidor que involucra a un consumidor con un bien y un numerario. En este modelo, se asume que el precio del numerario es uno. Mi objetivo es identificar la función de utilidad que resulta en la siguiente asignación óptima:

$$m^* = A \left(\frac{p}{\omega}\right)^\alpha$$

Aquí, $\omega$ representa los ingresos del consumidor, y $A$ y $\alpha$ son constantes y $-1 < \alpha < 0$. El objetivo del consumidor es maximizar su utilidad sujeta a la restricción presupuestaria:

$$\max u(m,x) \quad \text{s.t.} \quad \omega = x + p \cdot m$$

Las condiciones de primer orden (CPO) para este problema de optimización son:

$$u_x = \lambda$$

$$u_m = \lambda \cdot p$$

$$x^* = \omega - m^* \cdot p$$

Dado este escenario, estoy buscando ayuda para determinar la función de utilidad $u(m,x)$ que lleva a la asignación óptima $m^{*}$ como se especifica arriba.

Esto es lo que he intentado hasta ahora:

• He intentado ingeniería inversa en la función de utilidad comenzando desde las CPO, pero me he atascado al integrar las condiciones para encontrar una función cohesiva.
• También he investigado algunas funciones de utilidad estándar (como Cobb-Douglas), pero no estoy seguro de cómo adaptarlas para que encajen en este problema en particular.

¡Gracias de antemano por tu ayuda!

Answer 1

Creo que tu fórmula sigue siendo demasiado general, por lo que lo que deseas no será posible. Dado $-1 < \alpha < 0$ y $$ m^* = A \left(\frac{p}{\omega}\right)^\alpha, $$ tenemos $$ \frac{m^*p}{w} = A \left(\frac{p}{\omega}\right)^{1+\alpha}. $$ El lado izquierdo es la proporción del dinero del consumidor gastado en este bien $m$. Pero $$ \lim_{\omega \to 0} A \left(\frac{p}{\omega}\right)^{1+\alpha} = \infty, $$ entonces, si haces que el ingreso de este consumidor sea lo suficientemente pequeño, su asignación óptima de bienes implica que gastan más del 100% de sus ingresos en este bien $m$, lo cual no debería ser posible. Si $1+\alpha$ fuera negativo, te encontrarías con un problema similar al aumentar el ingreso.

En el caso especial de $1+\alpha = 0$, una solución realmente existe; Cobb-Douglas: $$ U(m,x) = m^Ax^{1-A} $$ da como resultado esta función de demanda exacta para $m$ con $\alpha = -1$.

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Una lección general es que si la demanda es proporcional a una potencia de los ingresos, surgen problemas si no se especifica que la fórmula solo funciona en un rango/casos interiores determinados, a menos que la demanda sea lineal en los ingresos (funciones de utilidad homotéticas).