Un problema con "Rendimientos a Escala"

Question

Supongamos que $Y\subset R^3$ es un conjunto de producción que satisface la condición de disposición libre: si $y\in Y$ y $y'\leq y$ entonces $y'\in Y.$ Supongamos que la tecnología de producción utiliza el bien 1 y el bien 2 como insumos para producir el bien 3.

Defina el conjunto $\bar{Y}=\{(-z_2,q):(-\bar{z}_1,-z_2,q)\in Y\}\subset R^2$ como las posibilidades de producción disponibles cuando el uso del primer bien está fijado en el nivel $\bar{z}_1$. ¿Cómo puedo demostrar que si $Y$ exhibe retornos constantes a escala, entonces $\bar{Y}$ muestra retornos decrecientes a escala?

Además, ¿es posible que $Y$ sea tal que $\bar{Y}$ también muestre RCEA sin importar en qué nivel se fije $z_1$?

Aquí está mi intento. Si $Y$ es RCEA, entonces $(-z_1,-z_2,q)\in Y$ y $(-tz_1,-tz_2,tq)\in Y$. Sea $t\in (0,1)$. Pero en este caso, $z_1$ está fijo, ¿cómo debo proceder? No estoy seguro de cómo usar la condición de "disposición libre".

Answer 1

Supongamos que $Y$ tiene rendimientos constantes a escala, lo que significa que si para todo $t > 0$ $$ (-z_1, -z_2, q) \in Y \to (-tz_1, -tz_2, tq) \in Y $$ Queremos demostrar que $\overline{Y}$ tiene rendimientos decrecientes a escala, lo que significa que para todo $t \in (0,1]$ $$ (-z_2, q) \in \overline{Y} \to (-tz_2, tq) \in \overline{Y}, $$

Fijamos $z_1$ en $\bar z_1$. Entonces para $t \in (0,1]$ como $\bar z_1 \ge t z_1$, tenemos: $$ (-t\bar z_1, -t z_2, ty) \ge (-\bar z_1, -tz_2, ty). $$ Así que por disposición libre: $$ (-t \bar z_1, -t z_2, ty) \in Y \to (-\bar z_1 - t z_2, t y) \in Y \tag{1} $$ Entonces para todo $t \in (0,1]$ $$ \begin{align*} &(-z_2, y) \in \overline{Y},\\ \leftrightarrow &(-\bar z_1, -z_2, y) \in Y,\\ \to &(-t\bar z_1, -tz_2, ty) \in Y,\\ \to &(-\bar z_1, -tz_2, t y) \in Y,\qquad \tag{ from (1)}\\ \leftrightarrow &(-tz_2, ty) \in \overline{Y}. \end{align*} $$