¿Cuáles son las diferencias entre las preferencias convexas y la función de utilidad cóncava? ¿Por qué las preferencias de convexidad suelen representarse mediante la función cuasi-cóncava en lugar de la función convexa?
Respuesta
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Alexandros B
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Q1:
¿Cuáles son las diferencias entre las preferencias convexas y la función de utilidad convexa?
Tienen diferentes definiciones, que implican diferentes cosas. De Wikipedia
Formalmente, una relación de preferencia $\succeq$ en el conjunto de consumo $X$ se llama convexa si siempre que $x, y, z \in X$ donde $y \succeq x $ y $z \succeq x $, entonces para cada $\theta\in[0,1]$: $$\theta y + (1-\theta) z \succeq x. $$
mientras una función $f$ es convexa, si, nuevamente desde Wikipedia,
Para todo $0 \leq t \leq 1$ y todos $x_1, x_2 \in X$: $$f\left(t x_1 + (1-t) x_2\right) \leq t f\left(x_1\right) + (1-t) f\left(x_2\right)$$
Q2:
¿Por qué las preferencias convexas suelen representarse mediante la función cuasiconcava y no la función convexa?
La palabra convexo aparece en ambos, pero eso no hace que sea la misma propiedad, las definiciones son diferentes.
Solo mirando la relación de preferencia $$\theta y + (1-\theta) z \succeq x $$ de antes, obtenemos la ecuación de utilidad $$U(\theta y + (1-\theta) z) \geq U(x), $$ que no es muy similar a la definición de una función convexa.
Un ejemplo donde una función de utilidad convexa representa una relación de preferencia no convexa:
La función de utilidad $U(x,y) = x^2 + y^2$ es convexa (valídala usando la definición). Luego $U(6,0) = U(0,6) = 36$, mientras que $U(4,4) = 32$ y $U(3,3) = 18$. $(6,0)$ y $(0,6)$ son preferidos a $(4,4)$, ya que tienen un valor de utilidad mayor. El punto $(3,3)$ es una combinación convexa de $(6,0)$ y $(0,6)$. Si la preferencia representada por esta función de utilidad fuera convexa, de acuerdo con la definición $(3,3)$ también sería preferido a $(4,4)$, pero no lo es, tiene un valor de utilidad menor.
