¿Cuándo son las tasas marginales de sustitución consistentes con una función de utilidad?

Question

¿Se sabe cuándo se puede racionalizar una función de tasa marginal de sustitución mediante alguna función de utilidad?

Más precisamente, y centrándonos en el caso de dos bienes, ¿qué condiciones se requieren en $M: (\mathbb R_{\geq 0})^2 \to \mathbb R$ para que exista $u: (\mathbb R_{\geq 0})^2 \to \mathbb R$ tal que para todo $x,y \geq 0$, $$ M(x,y)=\frac{u_x(x,y)}{u_y(x,y)} $$

Answer 1

Esta es una forma bastante indirecta.

Para $\omega, z \in \mathbb{R}_{++}$, define la correspondencia (demanda):

$$ D(\omega, z) = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2_+| MRS(x,y) = \omega \text{ y } \omega x + y = z.\right\} $$ La idea es que $D(\omega, z)$ da la correspondencia de demanda para (precios relativos $\omega = MRS(x,y)$ e ingreso (normalizado) $z = \omega x + y$.

Si $D(\omega, z)$ resultara ser una función (suave), entonces se podría verificar si satisface las condiciones habituales de integrabilidad: simetría de Slutsky y negatividad definida. (Alternativamente, se podría verificar si $D(\omega, z)$ satisface la SARP (axioma fuerte de preferencia revelada).)